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从各项中分别提取1/4，上式就会变成：
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(1 ++++ …)
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根据等比数列公式（令x= 1/4），上式可以简化为：
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() =×=
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这个级数有一个无须只言片语并且充满美感的证明方法（如下图所示）。注意，图中黑色方块正好占大方块面积的1/3。
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无须任何语言即可证明1/4 + 1/16 +1/64 + 1/256 + …= 1/3
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我们甚至还可以用等比数列来解决0.999 99…问题，这是因为无穷小数展开式其实就是伪装后的无穷级数。具体来说，我们可以用x= 1/10的等比数列加以证明：
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即使x为复数，只要它的模小于1，等比数列公式同样成立。例如，虚数i/2的模为1/2，根据等比级数公式，我们可以得到：
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展现在复平面上的情况如下图所示。
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有穷等比数列公式成立的条件是x≠ 1，而（无穷）等比数列则要求 |x| < 1。例如，当x= 2时，有穷等比数列的和为：
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但是，将x= 2代入等比数列公式，却会得到：
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