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这个结果荒谬可笑。(不过,我们的眼睛有时也会欺骗我们。在本章的最后一节,我们就会发现这个结果其实有一个可以让我们接受的理由。)
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正整数有无穷多个:
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1,2,3,4,5…
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正偶数也有无穷多个:
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2,4,6,8,10…
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数学家说,正整数集与正偶数集的大小(或者叫作基数、无穷大阶数)是相同的,因为这两个集合可以形成一一对应的关系:
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可以与正整数集形成一一对应关系的集合叫作“可列集”,可列集的无穷大阶数最低。元素可以一一排序的集合都是可列集,因为在排列时,第一个元素对应1,第二个元素对应2,以此类推。
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包含所有整数的集无法按照由小到大的顺序一一排列(哪个数字应该排在第一位?):
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…–3,–2,–1,0,1,2,3…
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但是,这些数字可以下面这种方式排列:
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0,1,–1,2,–2,3,–3…
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也就是说,整数集是可列集,它的大小与正整数集相同。
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正有理数集呢?该集合的所有元素都是m/n形式的数字,其中m和n是正整数。也许你不相信,但正有理数集确实是可列集,因为它的元素可以按照下面这种方式排列:
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,,,,,,,,,…
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在排列时,我们按照分子、分母的和来确定各个元素的先后次序。由于这个排列方式可将所有有理数都涵盖在内,因此正有理数集也是可列集。
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是否存在不是可列集的无穷数字集呢?德国数学家格奥尔格·康托尔(Georg Cantor,1845~1918)证明,0~1之间的所有实数构成的集合是不可列集。你也许想按照下列方式或者其他类似方式来列举这些实数:
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