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证明方法1：这条定理可以按照以下方式，利用归纳性证明法来验证。当n= 0时，该公式可以简化为1 =，这个等式毫无疑问是成立的。现在，我们假设当n=k时公式成立，就有：
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1 +x+x2+x3+ … +xk=
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当n=k+ 1时，即在上式左右两边同时加上xk+1，就会得到：
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1 +x+x2+x3+ … +xk+xk+1=+xk+1
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=+
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=
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=
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也就是说，当n=k+ 1时，公式仍然成立。证明完毕。 □
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或者，我们也可以采用下面这种代数证明法。
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证明方法2：令
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S= 1 +x+x2+x3+ … +xn
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两边同时乘以x，就会得到：
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xS=x+x2+x3+ … +xn+xn+1
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用第一个等式减去第二个等式，可以消去很多项，得到：
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S–xS= 1 –xn+1
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也就是说，S(1–x) = 1 –xn+1，即S=。
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请大家注意，当x= 1/2时，有穷等比数列的和与我们前文中发现的规律一致：
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当n不断增大时，(1/2)n将会趋近于0。因此，当n→ ∞时，就有：
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