打字猴:1.70100066e+09
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1701000661 正有理数集呢?该集合的所有元素都是m/n形式的数字,其中m和n是正整数。也许你不相信,但正有理数集确实是可列集,因为它的元素可以按照下面这种方式排列:
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1701000675 在排列时,我们按照分子、分母的和来确定各个元素的先后次序。由于这个排列方式可将所有有理数都涵盖在内,因此正有理数集也是可列集。
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1701000677 延伸阅读
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1701000679 是否存在不是可列集的无穷数字集呢?德国数学家格奥尔格·康托尔(Georg Cantor,1845~1918)证明,0~1之间的所有实数构成的集合是不可列集。你也许想按照下列方式或者其他类似方式来列举这些实数:
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1701000681 0.1,0.2,…,0.9,0.01,0.02,…,0.99,0.001,0.002,… 0.999,…
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1701000683 但是,只有那些位数有限的数字才会被列举出来,而像1/3 =0.333…这样的数字永远也不会出现。是不是可以想出更有创意的办法,列举出所有实数呢?康托尔通过以下方法证明这是不可能做到的。他先假设实数可以一一排列,然后他给出了一个具体的例子,比如这个排列的前几个元素是:
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1701000685 0.314 159 265…
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1701000687 0.271 828 459…
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1701000689 0.618 033 988…
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1701000691 0.123 581 321…
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1701000695 我们可以找出一个不属于这个排列的实数,从而证明这个排列是不完整的。具体来说,这个实数就是0.r1r2r3r4…,其中r1是0~9的整数且不同于该排列的第一个数字的第一位数(在本例中,r1≠ 3),r2则不同于该排列的第二个数字的第二位数(在本例中,r2≠ 7),以此类推。比如,这个数字可以是0.267 4…。这样的数字是不可能出现在上述排列中的,这个数字与排列中的第100万个数字有什么不同?答案是它们的第100万位数字不相同。因此,无论你想出什么样的排列方法,都必然会遗漏某些数字,从而证明实数是不可列集。这个证明方法被称为“康托尔对角线证明法”,不过我宁愿称之为“康托尔举例证明法”。(抱歉。)
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1701000697 从本质上讲,我们已经证明无理数远比有理数多,尽管有理数也有无穷多个。你在实数线上随机选择一个实数,几乎可以肯定这个数字是无理数。
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1701000699 概率问题中经常出现无穷级数。假设你投掷两枚6面色子。如果投掷的结果不是6点,也不是7点,就需要继续投掷。如果先掷出6点,你就赢了,否则你就输了。你在游戏中获胜的概率是多少?每次投掷都有6×6个概率相同的可能结果。当然,其中有5个可能的结果是6[即(1, 5)、(2, 4)、(3, 3)、(4, 2)和(5, 1)],有6个可能的结果是7[即(1, 6)、(2, 5)、(3, 4)、(4, 3)、(5, 2)和(6, 1)]。如此看来,你获胜的概率不到50%。直觉告诉我们,在36个可能的结果中,只有5 + 6 = 11个有效结果,如果出现其他结果,就都需要重新投掷。而在这11个结果中,有5个意味着你赢了,有6个意味着你输了。因此,你获胜的概率似乎是5/11。
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1701000701 利用等比数列,我们可以证明你获胜的概率的确是5/11。第一次投掷时,你获胜的概率是5/36。第二次投掷呢?要在第二次投掷时获胜,第一次投掷时就不能出现6或7,而且第二次必须掷出6点。第一次投掷时出现6或7的概率是5/36 + 6/36 = 11/36,也就是说,既不是6又不是7的概率是25/36。第二次投掷获胜的概率是25/36与5/36(独立投掷情况下出现6的概率)的乘积,也就是 (25/36)×(5/36)。要在第三次投掷时获胜,前两次投掷就不能掷出6或7,而且第三次必须掷出6。因此,第三次投掷获胜的概率为 (25/36) ×(25/36) ×(5/36)。第四次投掷获胜的概率是 (25/36)3×(5/36),以此类推。把所有这些概率加到一起,就是你获胜的概率:
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1701000706 证明完毕。 □
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