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，，，，，，，，，…
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在排列时，我们按照分子、分母的和来确定各个元素的先后次序。由于这个排列方式可将所有有理数都涵盖在内，因此正有理数集也是可列集。
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延伸阅读
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是否存在不是可列集的无穷数字集呢？德国数学家格奥尔格·康托尔（Georg Cantor，1845~1918）证明，0~1之间的所有实数构成的集合是不可列集。你也许想按照下列方式或者其他类似方式来列举这些实数：
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0.1，0.2，…，0.9，0.01，0.02，…，0.99，0.001，0.002，… 0.999，…
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但是，只有那些位数有限的数字才会被列举出来，而像1/3 =0.333…这样的数字永远也不会出现。是不是可以想出更有创意的办法，列举出所有实数呢？康托尔通过以下方法证明这是不可能做到的。他先假设实数可以一一排列，然后他给出了一个具体的例子，比如这个排列的前几个元素是：
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0.314 159 265…
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0.271 828 459…
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0.618 033 988…
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0.123 581 321…
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…
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我们可以找出一个不属于这个排列的实数，从而证明这个排列是不完整的。具体来说，这个实数就是0.r1r2r3r4…，其中r1是0~9的整数且不同于该排列的第一个数字的第一位数（在本例中，r1≠ 3），r2则不同于该排列的第二个数字的第二位数（在本例中，r2≠ 7），以此类推。比如，这个数字可以是0.267 4…。这样的数字是不可能出现在上述排列中的，这个数字与排列中的第100万个数字有什么不同？答案是它们的第100万位数字不相同。因此，无论你想出什么样的排列方法，都必然会遗漏某些数字，从而证明实数是不可列集。这个证明方法被称为“康托尔对角线证明法”，不过我宁愿称之为“康托尔举例证明法”。（抱歉。）
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从本质上讲，我们已经证明无理数远比有理数多，尽管有理数也有无穷多个。你在实数线上随机选择一个实数，几乎可以肯定这个数字是无理数。
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概率问题中经常出现无穷级数。假设你投掷两枚6面色子。如果投掷的结果不是6点，也不是7点，就需要继续投掷。如果先掷出6点，你就赢了，否则你就输了。你在游戏中获胜的概率是多少？每次投掷都有6×6个概率相同的可能结果。当然，其中有5个可能的结果是6[即(1, 5)、(2, 4)、(3, 3)、(4, 2)和(5, 1)]，有6个可能的结果是7[即(1, 6)、(2, 5)、(3, 4)、(4, 3)、(5, 2)和(6, 1)]。如此看来，你获胜的概率不到50%。直觉告诉我们，在36个可能的结果中，只有5 + 6 = 11个有效结果，如果出现其他结果，就都需要重新投掷。而在这11个结果中，有5个意味着你赢了，有6个意味着你输了。因此，你获胜的概率似乎是5/11。
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利用等比数列，我们可以证明你获胜的概率的确是5/11。第一次投掷时，你获胜的概率是5/36。第二次投掷呢？要在第二次投掷时获胜，第一次投掷时就不能出现6或7，而且第二次必须掷出6点。第一次投掷时出现6或7的概率是5/36 + 6/36 = 11/36，也就是说，既不是6又不是7的概率是25/36。第二次投掷获胜的概率是25/36与5/36（独立投掷情况下出现6的概率）的乘积，也就是 (25/36)×(5/36)。要在第三次投掷时获胜，前两次投掷就不能掷出6或7，而且第三次必须掷出6。因此，第三次投掷获胜的概率为 (25/36) ×(25/36) ×(5/36)。第四次投掷获胜的概率是 (25/36)3×(5/36)，以此类推。把所有这些概率加到一起，就是你获胜的概率：
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证明完毕。 □
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12堂魔力数学课 [:1700993773]
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12堂魔力数学课 调和级数奏出的优美乐曲
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如果无穷级数的和是一个（有限）数，我们就说它收敛（converge）于该数。如果某个无穷级数不收敛，我们就说它是一个发散（diverge）级数。在一个收敛的无穷级数中，所有数字必须趋近0。例如，无穷级数1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … 收敛于2。请大家注意观察，该级数的各个项，即1、1/2、1/4、1/8等越来越接近0。
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但是，这句话反过来说却不成立。即使各项都趋近0，级数本身仍然有可能是发散的。这方面的一个重要实例就是“调和级数”（harmonic series）。调和级数之所以得此名称，是因为古希腊人发现，如果琴弦长度与1、1/2、1/3、1/4、1/5…成比例关系，就可以弹奏出悦耳动听的音乐。
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定理：对于调和级数，有：
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