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假设我们从调和级数中删掉所有包含9的项，会有什么结果呢？可以证明，在这种情况下，这个级数的和不是无穷大（它肯定收敛于某个数字）。在证明时，我们根据分母的长度把不含有9的项分别相加。例如，我们先计算分母只有一位数的8个分数（,,,…,）之和。分母是两位数且不包含9的项一共有8×9 = 72个，这是因为第一位数有8种选择（不能是0或9），第二位数有9种选择。同理，分母是三位数且不包含9的项有8×9×9个。一般地，分母是n位数且不包含9的项有8×9n–1个。注意，分母是一位数的最大分数是1，分母是两位数的最大分数是，分母是三位数的最大分数是。因此，我们可以将这个无穷级数按照以下方式分成几组：
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1701000868
1701000869
1701000870
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1 +++++++＜ 8
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1701000878
1701000879
1701000880
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1701000882
+++ … +＜ ( 8×9) ×= 8 ()
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1701000888
1701000889
1701000890
+++ … +＜ ( 8×92) ×= 8 ()2
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1701000892
以此类推，根据等比数列公式，所有数字的和最多为：
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1701000894
1701000895
1701000896
1701000897
1701000898
8[ 1++ ()2+ ()3+ …] ==80
1701000899
1701000900
也就是说，各项中不包含9的无穷级数收敛于某个小于80的数字。 □
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在理解这个无穷级数的收敛性时，我们可以考虑一个事实：几乎所有大数都包含9。的确，如果大家随意写下一个数字，它的每个数位上的数字都可以从0到9中随机选择，那么这个数字的前n位数中不包含9的概率是(9/10)n。随着n不断增大，这个概率将趋近0。
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延伸阅读
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如果我们把π和e的值视为随机排列的数字串，那么你最喜欢的整数几乎肯定会出现在其中。例如，我最喜欢的四位数2 520就出现在π的第1845~1848位上。斐波那契数列的前6个数字（1，1，2，3，5，8）与从π的第820390位开始的6个数字一致。这6个数字出现在π的前100万位中并不令人吃惊，一方面，因为在随机生成的数字中，有6个连续数位上的数字与你给出的六位数相同的概率是百万分之一。因此，在π的前100万位数中找到与斐波那契数列的前6项相同的数字的可能性本来就存在。另一方面，999 999在π中出现得非常早（开始于第763位），真的十分令人吃惊。物理学家理查德·费曼说过，在背诵圆周率的过程中，如果你只背到第767位，人们说不定会以为π是有理数呢，因为他们最后听到的是“999999…”。
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借助网站或者某些应用程序，就可以在π和e中找出我们喜欢的数字串。我就用过某个类似程序，结果发现在π的前3 000位数中，最后5位数是31961。这个数字对于我来说十分特别，因为1961年3月19日是我的出生日期！
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