打字猴:1.70100086e+09
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1701000865 假设我们从调和级数中删掉所有包含9的项,会有什么结果呢?可以证明,在这种情况下,这个级数的和不是无穷大(它肯定收敛于某个数字)。在证明时,我们根据分母的长度把不含有9的项分别相加。例如,我们先计算分母只有一位数的8个分数(,,,…,)之和。分母是两位数且不包含9的项一共有8×9 = 72个,这是因为第一位数有8种选择(不能是0或9),第二位数有9种选择。同理,分母是三位数且不包含9的项有8×9×9个。一般地,分母是n位数且不包含9的项有8×9n–1个。注意,分母是一位数的最大分数是1,分母是两位数的最大分数是,分母是三位数的最大分数是。因此,我们可以将这个无穷级数按照以下方式分成几组:
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1701000874 1 +++++++< 8
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1701000882 +++ … +< ( 8×9) ×= 8 ()
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1701000890 +++ … +< ( 8×92) ×= 8 ()2
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1701000892 以此类推,根据等比数列公式,所有数字的和最多为:
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1701000898 8[ 1++ ()2+ ()3+ …] ==80
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1701000900 也就是说,各项中不包含9的无穷级数收敛于某个小于80的数字。 □
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1701000902 在理解这个无穷级数的收敛性时,我们可以考虑一个事实:几乎所有大数都包含9。的确,如果大家随意写下一个数字,它的每个数位上的数字都可以从0到9中随机选择,那么这个数字的前n位数中不包含9的概率是(9/10)n。随着n不断增大,这个概率将趋近0。
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1701000904 延伸阅读
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1701000906 如果我们把π和e的值视为随机排列的数字串,那么你最喜欢的整数几乎肯定会出现在其中。例如,我最喜欢的四位数2 520就出现在π的第1845~1848位上。斐波那契数列的前6个数字(1,1,2,3,5,8)与从π的第820390位开始的6个数字一致。这6个数字出现在π的前100万位中并不令人吃惊,一方面,因为在随机生成的数字中,有6个连续数位上的数字与你给出的六位数相同的概率是百万分之一。因此,在π的前100万位数中找到与斐波那契数列的前6项相同的数字的可能性本来就存在。另一方面,999 999在π中出现得非常早(开始于第763位),真的十分令人吃惊。物理学家理查德·费曼说过,在背诵圆周率的过程中,如果你只背到第767位,人们说不定会以为π是有理数呢,因为他们最后听到的是“999999…”。
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1701000908 借助网站或者某些应用程序,就可以在π和e中找出我们喜欢的数字串。我就用过某个类似程序,结果发现在π的前3 000位数中,最后5位数是31961。这个数字对于我来说十分特别,因为1961年3月19日是我的出生日期!
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