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1701000814
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++++++ … = ∞
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但是，这个级数趋于无穷大的速度非常慢，这是因为p的对数的对数值比较小，尽管p本身非常大。比如，以小于古戈尔（googol，即10100）的质数为分母的所有数字的和小于6。
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接下来，我们对调和级数稍加改动，看看会有什么现象发生。我们从调和级数中删掉一些项，只要这些项的个数是一个有限数，该级数就仍然是发散级数。例如，我们删掉前100万项（即1 ++ … +，这些项的和略大于14），那么剩余各项之和仍然无穷大。
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增大调和级数的各个项，它们的和也是发散的。例如，对于n> 1，有>，因此：
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1 ++++ … = ∞
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但是，即使让各项变小，和也不一定会收敛。例如，让调和级数的所有项都除以100，它仍然是一个发散级数，因为：
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+++ … =(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … ) = ∞
1701000839
1701000840
不过，把各项变小，也有可能得到一个收敛级数。例如，让所有项进行平方运算，它们的和就会收敛。根据欧拉的证明：
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1701000845
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1 ++++ … =
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1701000848
1701000849
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事实上，我们利用积分就可以证明对于任意的p> 1，1 ++++ …都会收敛于某个小于的数。例如，如果p= 1.01，那么下式的各项都会略微小于调和级数的各项。但是，即便如此，它也是一个收敛级数。
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1701000856
1701000857
1 ++++ … ＜101
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1701000859
