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++++++ … = ∞
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但是,这个级数趋于无穷大的速度非常慢,这是因为p的对数的对数值比较小,尽管p本身非常大。比如,以小于古戈尔(googol,即10100)的质数为分母的所有数字的和小于6。
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接下来,我们对调和级数稍加改动,看看会有什么现象发生。我们从调和级数中删掉一些项,只要这些项的个数是一个有限数,该级数就仍然是发散级数。例如,我们删掉前100万项(即1 ++ … +,这些项的和略大于14),那么剩余各项之和仍然无穷大。
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增大调和级数的各个项,它们的和也是发散的。例如,对于n> 1,有>,因此:
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1 ++++ … = ∞
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但是,即使让各项变小,和也不一定会收敛。例如,让调和级数的所有项都除以100,它仍然是一个发散级数,因为:
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+++ … =(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … ) = ∞
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不过,把各项变小,也有可能得到一个收敛级数。例如,让所有项进行平方运算,它们的和就会收敛。根据欧拉的证明:
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1 ++++ … =
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1701000849
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事实上,我们利用积分就可以证明对于任意的p> 1,1 ++++ …都会收敛于某个小于的数。例如,如果p= 1.01,那么下式的各项都会略微小于调和级数的各项。但是,即便如此,它也是一个收敛级数。
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1 ++++ … <101
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