1701000800
1701000801
1701000802
1701000803
++++++ …≈M+ ln lnp
1701000804
1701000805
其中M= 0.261 497 2…，被称为“梅尔滕斯常数”。随着p不断增大，等式两边值的近似程度也会越来越高。
1701000806
1701000807
根据上式，我们可以得出：
1701000808
1701000809
1701000810
1701000811
1701000812
1701000813
1701000814
1701000815
++++++ … = ∞
1701000816
1701000817
但是，这个级数趋于无穷大的速度非常慢，这是因为p的对数的对数值比较小，尽管p本身非常大。比如，以小于古戈尔（googol，即10100）的质数为分母的所有数字的和小于6。
1701000818
1701000819
1701000820
1701000821
接下来，我们对调和级数稍加改动，看看会有什么现象发生。我们从调和级数中删掉一些项，只要这些项的个数是一个有限数，该级数就仍然是发散级数。例如，我们删掉前100万项（即1 ++ … +，这些项的和略大于14），那么剩余各项之和仍然无穷大。
1701000822
1701000823
1701000824
1701000825
增大调和级数的各个项，它们的和也是发散的。例如，对于n> 1，有>，因此：
1701000826
1701000827
1701000828
1701000829
1701000830
1 ++++ … = ∞
1701000831
1701000832
但是，即使让各项变小，和也不一定会收敛。例如，让调和级数的所有项都除以100，它仍然是一个发散级数，因为：
1701000833
1701000834
1701000835
1701000836
1701000837
1701000838
+++ … =(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … ) = ∞
1701000839
1701000840
不过，把各项变小，也有可能得到一个收敛级数。例如，让所有项进行平方运算，它们的和就会收敛。根据欧拉的证明：
1701000841
1701000842
1701000843
1701000844
1701000845
1701000846
1 ++++ … =
1701000847
1701000848
1701000849
