打字猴:1.70100098e+09
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1701000981 延伸阅读
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1701000983 如果我们将等比数列中的x替换成 –x2,当x在 –1~ 1之间时,就有:
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1701000986 1 –x2+x4–x6+x8– … =
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1701000989 大多数微积分教科书都会证明y= arc tanx的导数为y’=。对等式两边同时求不定积分(注意,arc tan 0 = 0),就会得到:
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1701000995 x –+–+– … = arc tanx
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1701000997 令x趋近0,就会得到:
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1701001005 1 –+–+–+ … = arc tan 1 =
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1701001007 在研究了等比数列的应用之后,我们接下来讨论等比数列在应用过程中容易出现的错误。等比数列的定义指出,对于任意x,只要 –1
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1701001010 1 +x+x2+x3+x4+ … =
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1701001012 我们来看当x= –1时会出现什么结果。根据等比数列公式,有:
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1701001017 这个答案不可能是正确的。因为我们加、减的都是整数,所以最后结果不可能是像1/2这样的分数。即使这个级数收敛于某个数字,也不会是1/2。不过,这个答案并不是完全没有道理。观察该级数的部分和,就会发现:
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1701001022 以此类推,由于部分和中有一半是1,还有一半是0,因此1/2这个答案似乎不无道理。
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1701001024 如果x取不符合条件要求的值,比如x= 2,根据等比数列,就会得出:
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1701001029 这个答案似乎比1/2更荒谬。多个正数的和怎么可能是负数呢?不过,这个答案也许同样可以找到一个合理的解释。比如,我们在本书第3章见过,在类似于10 ≡ –1(mod 11)的关系中,10k≡ (–1)k(mod 11)这个等式是成立的。也就是说,正数也可以表现出负数的特性。
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