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延伸阅读
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如果我们将等比数列中的x替换成 –x2，当x在 –1~ 1之间时，就有：
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1 –x2+x4–x6+x8– … =
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大多数微积分教科书都会证明y= arc tanx的导数为y’=。对等式两边同时求不定积分（注意，arc tan 0 = 0），就会得到：
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x –+–+– … = arc tanx
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令x趋近0，就会得到：
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1 –+–+–+ … = arc tan 1 =
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在研究了等比数列的应用之后，我们接下来讨论等比数列在应用过程中容易出现的错误。等比数列的定义指出，对于任意x，只要 –1
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1 +x+x2+x3+x4+ … =
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我们来看当x= –1时会出现什么结果。根据等比数列公式，有：
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这个答案不可能是正确的。因为我们加、减的都是整数，所以最后结果不可能是像1/2这样的分数。即使这个级数收敛于某个数字，也不会是1/2。不过，这个答案并不是完全没有道理。观察该级数的部分和，就会发现：
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以此类推，由于部分和中有一半是1，还有一半是0，因此1/2这个答案似乎不无道理。
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如果x取不符合条件要求的值，比如x= 2，根据等比数列，就会得出：
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这个答案似乎比1/2更荒谬。多个正数的和怎么可能是负数呢？不过，这个答案也许同样可以找到一个合理的解释。比如，我们在本书第3章见过，在类似于10 ≡ –1(mod 11)的关系中，10k≡ (–1)k(mod 11)这个等式是成立的。也就是说，正数也可以表现出负数的特性。