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让我们打破常规，以一种创造性思维去理解1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …的意义。我们在本书第4章讨论过，每一个正整数都可以表示成2的幂次方之和的唯一形式，这是计算机采用的二进制的基础。每个整数都是有限个2的幂次方之和。比如，106 = 2 + 8 + 32 + 64中包含4个2的幂次方。现在，我们假设无穷大的整数也可以表示成这种形式，其中2的幂次方的个数可以根据需要，想用多少个就用多少个。那么，无穷大的整数就会具有以下这种典型的表现形式：
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1 + 2 + 8 + 16 + 64 + 256 + 2 048 + …
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其中，2的幂次方连续不断地出现。我们不清楚这些数字有什么含义，但我们可以建立高度一致的运算规则。比如，只要我们确定一种自然的进位方式，就可以对这些数字进行加法运算。比如，在上面这个无穷级数的基础上加上106的2的幂次方表达式，就会得到：
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其中，2 + 2得4；接下来，8 + 8得16，它与后面的16相加得32，32又与后面一个32相加得64；两个64相加得128，而从256往后的所有项都保持不变。现在，我们给“最大”的无穷大整数加上1：
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在这种情况下会发生一连串的如上所述的加法运算，而横线下面看不到一个2的幂次方。也就是说，和可以视为0。既然(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) + 1 = 0，那么在等式两边同时减去1，就会发现这个无穷级数的和似乎真的等于 –1。
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下面这个匪夷所思的无穷级数求和是我的最爱：
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1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … =
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在证明有穷等比数列和的时候，我们在第二种证法里使用了代数的移项法。现在，我们用同样的方法来“证明”上式。这种方法适用于有穷级数求和，如果应用于无穷级数求和，就可能导致荒谬的结果。我们先用代数的移项法来解释前文中的一个恒等式。我们按下列方式把这个等式写两遍，但在写第二遍时每项向后移动一个位置：
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S= 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …
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S= – 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …
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将两个等式相加，可以得到：
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2S= 1
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因此，S= 1/2。这跟我们在前文中令x= –1时根据等比数列公式得到的结果一致。
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延伸阅读
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利用代数移项法，我们可以轻而易举地证明等比数列公式，不过证明过程不太严谨。
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S= 1 +x+x2+x3+x4+x5+ …
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xS=x+x2+x3+x4+x5+ …
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两式相减，就会得到：
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S(1 –x) = 1
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S=
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如果把我们最渴望知道答案的无穷级数求和问题变成一个正负项交错排列的形式，就会得出一个非常有趣的答案：