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也就是说，各项中不包含9的无穷级数收敛于某个小于80的数字。 □
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在理解这个无穷级数的收敛性时，我们可以考虑一个事实：几乎所有大数都包含9。的确，如果大家随意写下一个数字，它的每个数位上的数字都可以从0到9中随机选择，那么这个数字的前n位数中不包含9的概率是(9/10)n。随着n不断增大，这个概率将趋近0。
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延伸阅读
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如果我们把π和e的值视为随机排列的数字串，那么你最喜欢的整数几乎肯定会出现在其中。例如，我最喜欢的四位数2 520就出现在π的第1845~1848位上。斐波那契数列的前6个数字（1，1，2，3，5，8）与从π的第820390位开始的6个数字一致。这6个数字出现在π的前100万位中并不令人吃惊，一方面，因为在随机生成的数字中，有6个连续数位上的数字与你给出的六位数相同的概率是百万分之一。因此，在π的前100万位数中找到与斐波那契数列的前6项相同的数字的可能性本来就存在。另一方面，999 999在π中出现得非常早（开始于第763位），真的十分令人吃惊。物理学家理查德·费曼说过，在背诵圆周率的过程中，如果你只背到第767位，人们说不定会以为π是有理数呢，因为他们最后听到的是“999999…”。
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借助网站或者某些应用程序，就可以在π和e中找出我们喜欢的数字串。我就用过某个类似程序，结果发现在π的前3 000位数中，最后5位数是31961。这个数字对于我来说十分特别，因为1961年3月19日是我的出生日期！
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12堂魔力数学课 [:1700993774]
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12堂魔力数学课 不可思议的无穷和
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回顾一下到目前为止我们接触到的无穷和。
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在本章开头，我们讨论了：
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1 +++++ … = 2
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我们发现，这是等比数列的一个特例。等比数列公式指出，对于任意x，只要 –1
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1 +x+x2+x3+x4+ … =
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注意，当x为0到–1之间的负数时，等比数列公式同样有效。例如，如果x= –1/2，则：
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各项交替为正负数且趋于0的级数叫作“交错级数”，交错级数一定会收敛于某个数。在理解上面这个交错级数时，我们可以画一条实数线，并把手指放在数字0的位置上。然后，把手指向右移动1个单位，再向左移动1/2个单位，再向右移动1/4个单位（这时候，你的手指应该在3/4的位置上），再向左移动1/8个单位（此时，你的手指应该在5/8的位置上）。以此类推，你的手指将在某个数字附近来回移动（在本例中，这个数字是2/3）。
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现在，请大家观察下面这个交错级数：
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1 –+–+–+ …
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看完前4项之后，我们知道这个无穷级数的和至少是1–1/2 + 1/3 – 1/4 = 7/12 = 0.583…；看完前5项之后，我们知道这个无穷级数的和至多是1–1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 = 47/60 = 0.783…。这个级数的和是0.693 147…，在上述两个数字中间偏右的位置。利用微积分，我们可以算出这个和的确切值。
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我们先上一道“开胃小菜”。请大家写出等比数列：