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想一想，如果两边同时求导，会出现什么情况？本书第11章告诉我们：1，x，x2，x3，x4…的导数分别是0，1，2x，3x2，4x3…。因此，如果我们假设无穷级数和的导数就是导数的和，那么利用链式法则对(1 –x)–1求导，我们可以得出：对于 –1
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我们把等比数列中的x替换成–x，就会发现：对于 –1
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现在，求等式两边的反导数（微积分学称之为“不定积分”）。不定积分是求导的逆运算，例如，x2的导数是2x，反过来，2x的不定积分是x2。[x2+ 5，x2+ π或x2+c（c为任意数）的导数同样是2x，所以2x的不定积分其实是x2+c。]1，x，x2，x3，x4…的不定积分分别是x，x2/2，x3/3，x4/4，x5/5…；1/(1 +x)的不定积分是1 +x的自然对数。也就是说，对于 –1
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x–+–+– … = ln(1 +x)
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等式左边的常数项为0，这是因为当x= 0时，我们希望右边的值为ln 1 = 0。当x逐渐接近1时，我们就会发现0.693 147…的自然含义，即：
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1 –+–+–+ … = ln 2
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延伸阅读
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如果我们将等比数列中的x替换成 –x2，当x在 –1~ 1之间时，就有：
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1 –x2+x4–x6+x8– … =
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大多数微积分教科书都会证明y= arc tanx的导数为y’=。对等式两边同时求不定积分（注意，arc tan 0 = 0），就会得到：
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x –+–+– … = arc tanx
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令x趋近0，就会得到：
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