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1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + … =
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下面，我们用移项法来证明这个结论。先把等式写两遍：
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T= 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + …
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T= 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – …
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两式相加，就会得到：
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2T= 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …
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也就是说，2T=S= 1/2。所以，T= 1/4。证明完毕。
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最后，我们再做一个实验。把所有正整数的和记作U，然后在它的下面列出T的算式（不用移位）。
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U= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + …
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T= 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + …
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用第一个等式减去第二个等式，就会得到：
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U–T= 4 + 8 + 12 + 16 + … = 4 (1 + 2 + 3 + 4 + …)
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也就是说：
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U–T= 4U
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求U的值，因为3U= –T= –1/4所以：
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U= –1/12
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证明完毕。
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必须指出，无穷多个正整数的和必然趋向无穷大。但是，不要简单地把上面这些有穷数答案全部视为噱头，因为在某些情况下，它们其实是有道理的。在理解数字时，如果我们拓展思路，就会发现1 + 2 +4 + 8 + 16 + … = –1并非毫无道理。回想一下，如果我们对数的理解仅限于实数线，就不可能找到二次幂等于 –1的数字。但是，如果我们把复数看作复平面上的“居民”，而且为它们建立一套严格统一的运算法则，就可以找到二次幂等于–1的数字了。事实上，研究弦理论的理论物理学家在计算时就会用到1 + 2 + 3 + 4 + … = –1/12这个结果。如果遇到某些看似荒谬的计算结果，例如上面给出的这些无穷级数的和，大家尽可以一笑置之，但是，如果我们充分发挥自己的想象力，思考各种可能性，说不定这个世界就会多出一个严谨统一、充满美感的数字系统。
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在结束本书的写作之前，我再向大家介绍一个看上去荒诞不经的计算结果。在本节开头，我告诉大家下面这个交错级数收敛于ln 2 = 0.693 147…。
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1 –+–+–+ …
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改变这些数字的先后次序，它的和应该不会发生变化，因为根据加法交换律，对于任意数字A和数字B，都有：
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A+B=B+A