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求U的值，因为3U= –T= –1/4所以：
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U= –1/12
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证明完毕。
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必须指出，无穷多个正整数的和必然趋向无穷大。但是，不要简单地把上面这些有穷数答案全部视为噱头，因为在某些情况下，它们其实是有道理的。在理解数字时，如果我们拓展思路，就会发现1 + 2 +4 + 8 + 16 + … = –1并非毫无道理。回想一下，如果我们对数的理解仅限于实数线，就不可能找到二次幂等于 –1的数字。但是，如果我们把复数看作复平面上的“居民”，而且为它们建立一套严格统一的运算法则，就可以找到二次幂等于–1的数字了。事实上，研究弦理论的理论物理学家在计算时就会用到1 + 2 + 3 + 4 + … = –1/12这个结果。如果遇到某些看似荒谬的计算结果，例如上面给出的这些无穷级数的和，大家尽可以一笑置之，但是，如果我们充分发挥自己的想象力，思考各种可能性，说不定这个世界就会多出一个严谨统一、充满美感的数字系统。
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在结束本书的写作之前，我再向大家介绍一个看上去荒诞不经的计算结果。在本节开头，我告诉大家下面这个交错级数收敛于ln 2 = 0.693 147…。
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1 –+–+–+ …
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改变这些数字的先后次序，它的和应该不会发生变化，因为根据加法交换律，对于任意数字A和数字B，都有：
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A+B=B+A
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但是，如果把这些数字按照下面这种次序重新排列，会出现什么结果呢？
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1 ––+––+––+ …
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注意，加在一起的还是那些数字，因为所有分母为奇数的数字都带有正号，所有分母为偶数的数字都带有负号。尽管算式中偶数的出现频率是奇数的两倍，但无论奇数还是偶数都用之不竭，而且原算式中的所有项在新算式中都只出现一次。大家对此没有异议吧？那么，请大家算出这个和：
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结果我们发现它竟然是原无穷和的一半！怎么会出现这种情况呢？把各项数字重新排列，计算结果竟然变得不一样了。之所以出现这个令人惊讶的结果，是因为在无穷多个数字相加时不可以使用加法交换律。
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如果收敛级数中的正数项和负数项分别构成发散级数（也就是说，正数项的和为∞，负数项的和为–∞），就会出现这样的问题。我们给出的最后一个例子就是这种情况。这样的级数被称为“条件收敛级数”。令人吃惊的是，对条件收敛级数重新排序，可以得出我们想要得到的任意结果。比如，如何排列上面这个级数，让它最后的得数为42呢？首先，让正数项相加，使它们的和刚好超过42，然后减去第一个负数项。再加上一个正数项，使和再次超过42，然后减去第二个负数项。重复上述步骤，最终的和就会越来越接近42。（比如，减去第5个负数项 –1/10之后的计算结果，与42的差会始终保持在0.1以下。减去第50个负数项 –1/100后的计算结果与42的差会始终保持在0.01以下，以此类推。）
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我们在实践中遇到的无穷级数大多不会表现出这种奇怪的特性。如果某个无穷级数的所有项在取绝对值（将负数项全部变成正数项）之后具有收敛性，我们就称这是一个“绝对收敛级数”。例如，我们在前文中见过的交错级数：
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1 –+–+– … =