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第三部分是“形状”。在这一部分中，我们离开了数字和符号的领域，来到形状和空间的世界。是的，我们要讲到几何学和三角学了。除了描述所有我们能看到的物体的形态以外，几何学和三角学还把数学提升到了一个新的高度：通过逻辑推理和证明，构建出一个更为严谨和严密的数学世界。
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第四部分是“变化”。在这一部分中，我们开始介绍微积分。微积分可能是数学中最有影响力、最硕果累累的一个分支了。正是因为有了微积分，人类才有能力预测行星的运动、潮汐的涨落、宇宙和人类身上发生的一切连续性的变化。在这个部分中，我们还会谈到无穷大的概念。正是因为聪明的人类成功地驯服了“无穷大”这只怪兽，才使得微积分的发明成为可能。借助“无穷大”这只怪兽的力量，微积分一下子解决了好多先贤智者一直无法解决的难题。凭借这一利器，人类势如破竹地攻克了许多科学难关，最终成功地开创了现代世界。
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第五部分是“数据”。在这一部分中，我们会谈到概率论、统计学、网络与数据挖掘等问题。这些都是数学学科中相对“年轻”的分支。为什么我们要研究统计学、概率论、网络和数据挖掘呢？因为生活中总是充满了很多难解的谜题：机会、运气、不确定性、风险、波动、随机性、各种因素间错综复杂的联系等。通过阅读这一部分的内容，你会发现，只要使用合适的数学工具，运用正确的数据，我们就能从看似一团乱麻的世界中，寻找到规律和意义。
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在数学之旅的最后一程，我会带大家来到本书的第六部分：“前沿”。在这一部分中，我会向大家介绍数学研究的最前沿进展，带大家欣赏已知和未知的世界。我们会再次谈到前文中已经说过的问题：数字、数字之间的关系、形状、变化，以及无穷大。但是，“故地重游”的时候，我们会用更深邃、更现代的眼光，来审视这些我们已经熟悉的“风景”。
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好了，以上就是此次数学之旅的行程概要。我希望所有沿途的“风景”至少能给你带来一样东西：乐趣。在我们的旅程中，会有很多让你大呼“原来如此！”的恍然大悟的时刻。那么，你准备好了吗？让我们一起开始这个精彩纷呈的旅程吧。
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千里之行，始于足下，我们的旅程也会从最简单的部分开始。让我们先从数数这项最简单的技能开始，走进数学的魔法世界。
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001350]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第1部分 数字
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001351]
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第1章 数学：从企鹅的“鱼”订单到无穷大
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数字的起源是什么？究竟什么是数字？我们为什么要发明数字？关于这个问题，我看过的最好的解释来自幼儿教育动画片《芝麻街》。在名叫“一二三，跟我数”的那一集里，粉红皮毛、绿色鼻子的汉弗莱先生在“毛绒武器”饭店做午餐服务员。我们可爱的汉弗莱先生接到了一群企鹅的订餐电话，接完电话以后，汉弗莱认真地把订餐信息传递给了厨房，他大喊道：“鱼，鱼，鱼，鱼，鱼，鱼。”在接下来的剧情中，我们的另一位主人公厄尼向汉弗莱介绍了如何用数字6更好地总结订单的信息。对于“为什么要发明数字”这个问题，这是我听过的最简单、最生动，也是最有趣的答案。
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从这个动画故事里，孩子们认识到数字是一种方便好用的工具。如果没有数字，6只企鹅的订餐信息就只能表示为“鱼，鱼，鱼，鱼，鱼，鱼”，如果有更多只企鹅订餐，我们的汉弗莱先生恐怕就招架不住了。但是，只要发明了数字，不管有多少只企鹅订餐，都可以很清楚简洁地用数字表示出来。
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对于成年人来说，虽然数字的发明让我们不必浪费时间重复叫喊，但是数字却有一个很大的缺点，那就是它的抽象性。数字6比6条鱼要抽象得多，它不仅可以表示6条鱼，还可以表示很多其他的东西：6个盘子、6只企鹅、句子“鱼，鱼，鱼，鱼，鱼，鱼”中“鱼”字的数量，诸如此类。数字6是所有这些东西的高度抽象化的表达。
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从这个角度来看，数字不再是动画片里浅显易懂的概念了，它的抽象性为它蒙上了一层神秘的色彩。数字仿佛是柏拉图理想国里的某种玄而又玄的东西，它抽象而神秘地存在于现实生活中。从这个层面来看，数字不像是我们日常生活中接触到的各种实实在在的事物，而是与“真理”、“正义”之类的东西一样，是一种高高在上的抽象概念。你越是从哲学的角度上思考数字的概念，越会觉得它仿佛是一团看不透彻的迷雾：数字到底是从哪儿冒出来的？是我们人类发明了数字，还是数字本来就客观地存在于自然界中，只是被我们人类发现了而已？
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如果你再进一步考虑一下数字的“性质”，就会觉得问题变得更加微妙了。正如其他数学符号或数学概念一样，数字也有自己的“生命”和“行为模式”。我们人类无法操控数字的性质和行为模式。即使数字是存在于人类的思维之中的，但一旦它们被定义出来，我们就再也无权干涉它们的行为和性质了。数字服从于某些特殊的规律，有自己的特殊性质，它们要以特定的方式与另一个数字结合，这就好像一个人有自己独特的个性一样。人类完全无法改变数字的这些性质，我们只能默默地观察它们的“行为”，试图了解和学习它们的“性质”。在这个意义上，数字就好像我们头顶的繁星，又好像微观世界里的原子，它们都在冥冥之中服从于某些神秘的客观规律，这些规律不以我们人类的意志为转移。当然，不同的是，繁星和原子客观地存在于我们人类社会以外，而数字似乎只存在于我们的脑海之中。
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是的，数字的确具有这种神秘的双重性：它既方便实际，又神秘莫测；它既是6条鱼、6个盘子那类具体的东西，又是比繁星和原子更为缥缈虚幻的抽象存在；它既是最实用直观的工具，又是理想国里的抽象概念。也许正是数字的这种奇妙的特性，才使得它成为我们人类历史上最有用的工具之一。著名的物理学家尤金·维格纳曾这样写道：“在自然科学的领域里，数学的应用是如此广泛，数学的威力是如此巨大。数学的神通广大、无所不至已经超出了我们人类智慧所能理解的范围。”
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也许你会觉得我有点儿言过其实，也许你会问：你所谓的数字的“生命”到底指什么？或者你为什么说“我们人类完全无法掌控数字的性质”？为了说明这个问题，让我们回到《芝麻街》的例子中来。假设，在汉弗莱先生把企鹅们所下的6条鱼的订单传达给厨房之前，他又接到了另一个电话：另一个房间里恰好也有6只企鹅，他们恰好也想订6条鱼。在接完这两个电话并记下这两个订单以后，汉弗莱要怎么把信息传达给厨房呢？如果汉弗莱先生还没有得到厄尼的点拨，他就要为每一只企鹅顾客大喊一声“鱼”，喊足12声；如果他已经学会了数字的概念，那么他就会告诉厨房：第一个订单要6条鱼，第二个订单也要6条鱼。实际上，汉弗莱先生需要的是“加法”的概念，如果他懂得加法，他就会骄傲地对厨房喊道：“我要6加6条鱼。”（如果汉弗莱先生爱表现的话，他就会说：“我要12条鱼。”）
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这个极为有用又极富创造性的新工具就叫作加法。与数字一样，发明加法是为了给我们提供方便：有了数字，我们便不必重复叫喊同一个名词；有了加法，我们便不必重复说同一个数字。这便是数学发展的动力和过程：更进一步的抽象化给了我们更多的启迪和方便，也让数学有了更强大的力量和效用。
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数数也许并不是一件多么高超的技能。很快，我们的汉弗莱先生就能学会数一位数、两位数、三位数……用不了多久，他会发现自己可以无穷无尽地数下去。
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虽然数字的边界是无限的，但人类的能力却是有限的。我们可以定义数字6和数学符号“＋”，但一旦我们明确了它们的定义，我们就再也不能干涉“6＋6”等于多少。不管你喜不喜欢，6＋6必须等于12。因为任何其他的答案都是不符合逻辑的。在这个意义上，数学永远包含着两个部分：一部分是有意为之的“发明”，另一部分是随之产生的“发现”。我们发明了这样或那样的概念（比如，数字6和数学符号“＋”），然后我们又发现了这些概念所产生的结果（比如，6＋6=12）。在下面的章节中你将会看到，在数学领域，人类的自由是有限的。我们可以自由决定提出什么样的问题，以及如何研究这些问题，但是问题的答案却在我们的控制范围之外，不管我们喜欢也好，不喜欢也罢，一旦问题被提出，它们的答案就已经在某个地方等着我们了。
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