1701001554
下面，我们再来看另外一个问题：在这10组石头中，有哪几组可以摆成一个两行，并且每行的石头数量一样多的长方形？这个问题也不难吧：2、4、6、8、10都可以，因为它们都是能被2整除的偶数。而剩下的5个数字——也就是奇数，就不能摆成石头数量相同的两行，不信你试试看，一定会有一块石头多出来。
1701001555
1701001556
1701001557
1701001558
1701001559
但是，如果把上图中的任意两组石头拼在一起，两组石头就可以组成一个规则的长方形。抽象成数学规律，那就是：奇数＋奇数=偶数。
1701001560
1701001561
1701001562
1701001563
1701001564
好，现在让我们把上面的游戏规则放宽一些：我们不仅考虑10以下的数字，也考虑大于10的数字；同时，拼长方形的时候，我们不要求石头一定要摆成两行，我们也接受行数多于2的长方形。在这样的条件下，我们可以发现，有些石头数量为奇数的组也能被摆成规则的长方形。比如，15块石头的一组可以被摆成一个3乘以5的长方形。
1701001565
1701001566
1701001567
1701001568
1701001569
于是，我们可以看出，虽然15毫无疑问是一个奇数，但它也是一个“可以被分解的数字”：15可以被分解为3个“5”。这样的数字我们称之为“合数”。与15一样，乘法表上的任何一个数字都可以被摆放成一个完整的长方形。
1701001570
1701001571
然而，我们不难发现，有一些数字，无论你怎么摆放，都不可能摆出一个完整的长方形（此处我们假设1行不算是一个长方形，两行或两行以上才算作长方形）；无论你摆几行，总是会有多出来的石头。这些数字“脾气”古怪，完全无法被分解，除了把它们摆成一行以外，我们拿它们完全没辙。这类“脾气古怪”的数字就是我们常说的“质数”。
1701001572
1701001573
看，不同的数字的确有不同的结构特点，这些结构特点就是数字的“性格”和“脾气”。但是，为了充分了解数字的行为特点，我们不能只研究一个个孤立数字的性质，我们需要把它们摆放到一起，看看数字是如何相互作用的。
1701001574
1701001575
我们已经知道，奇数＋奇数=偶数，那么如果从1开始，把连续的奇数相加，会发生什么呢？
1701001576
1701001577
1＋3=4
1701001578
1701001579
1＋3＋5=9
1701001580
1701001581
1＋3＋5＋7=16
1701001582
1701001583
1＋3＋5＋7＋9=25
1701001584
1701001585
你有没有发现，这些连续奇数的和总是一个平方数（在前面的讨论中，我们已经介绍了平方数的概念，比如4和9就分别是2和3的平方，而且4×4=16，5×5=25，所以16和25也是平方数）。你可以很容易地验证，当你继续加上更大的连续奇数，这个规律仍然成立。事实上，这条规律是没有界限的，你可以一直往上加到正无穷大，从1开始的连续奇数的和永远会是一个平方数。那么，为什么会有这样的规律呢？这些带着难看的附属物、永远也摆不整齐的奇数，为什么会和绝对对称、焕发着古典平衡美光芒的平方数扯上关系呢？其实，只要把一组组石头按照正确的方式摆放，这条看似奇怪的规律就会变得十分明显。千万别小看排列石头的这种技巧，它就是优雅的数学证明的雏形 ！
1701001586
1701001587
其实，这其中的关键点是一个很简单的事实：所有奇数块的石头都一定可以摆成一个横边和竖边一样长的L字形。只要把多出来的那块石头放在L字横边和竖边的交界处，然后把剩下的石头分成相同数量的两组，分别作为L字的横边和竖边就可以了。然后，只要你把边长分别相差1的几个等边L字形叠加在一起，一直叠加到边长为1的L字形为止，你就一定会得到一个正方形。看了下面的图形，应该就一目了然了。
1701001588
1701001589
1701001590
1701001591
1701001592
这种化数字为图形的思维方式，在最近出版的另一本书籍中也有应用，当然这本书和《一个数学家的叹息》一书的性质和写作目的都有很大的不同。小川洋子的小说《博士最爱的公式》讲述了一个非常引人入胜的故事：一名聪明能干但没受过多少正规教育的年轻家政女工和她10岁的儿子受雇照料一位年迈的数学家。这位数学家脑部遭受了创伤性损伤，导致他只有80分钟的短暂记忆，这位缺失长期记忆的数学家因此只能过着一种奇怪的“活在当下的”生活。他终日困坐在自己的小房间里，除了数字，他已经什么都没有了。出于想与人交流的本能，这位数学家试图和这位家政女工进行沟通，但是他所掌握的语言只剩下数字了，所以他只能通过询问家政女工的鞋码和生日等数字，并对这些数字进行奇怪的数学分析来达到交流的目的。同时，数学家很喜欢家政女工的儿子，他给这个小男孩起了个昵称叫“根号”，因为小男孩的头顶十分扁平，使数学家想到了根号的形状。
1701001593
1701001594
有一天，数学家给“根号”小朋友出了一个小小的题目，他说：“根号，你能算出1到10这10个数字的和吗？”
1701001595
1701001596
经过认真的加法运算，“根号”小朋友回答说：“答案是55。”
1701001597
1701001598
数学家又问他：“有没有什么更巧妙的算法，能不做加法就直接得到答案呢？”
1701001599
1701001600
“根号”小朋友有些生气，他踢着椅子大叫道：“不能做加法？这也太不公平了吧！”
1701001601
1701001602
有趣的是，这位聪明的家政女工自己却慢慢地被数字的世界所吸引，她开始悄悄地试着解开数学家出的这道谜题。这个家政女工说：“我也不知道自己为何会被小孩子的数学题所吸引，这些问题千奇百怪，看起来也没有什么实际的价值，似乎只是小孩子的游戏罢了。一开始，我是有意识地想取悦我的这位古怪的雇主。但是慢慢的，这种功利的目的已经被我抛到脑后了，我只是单纯地在和这些题目较劲儿，非要把它们解出来。早晨，我一觉醒来，头脑中第一个出现的问题居然是数学家给出的这个算式：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=55。而且，这个算式一整天都在我的脑子里转来转去。这个算式就像刻在了我的头脑中，无论如何我都不能摆脱它。”
1701001603