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在社会学中，左图的关系被称为“均衡关系”。在这幅图中，各方之间都是朋友关系，任何一方都没有理由改变态度，因为与朋友的朋友保持友好关系是很自然、很正常的一件事，这个关系网是稳定的。同样，右图呈现的这种一条实线、两条虚线的关系图也是一种“均衡关系”，这幅图中的关系网也是稳定的。虽然图中表述的是敌对关系，但是没有矛盾和不稳定的地方。要知道，共同的敌人永远是稳固友谊的基石。
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当然，三角形的关系图也可能会出现不稳定的“非均衡关系”。例如，如果三角形中的三方彼此都是敌对关系，那么这样的关系图就是不稳定的：矛盾相对较小的两方往往倾向于联合起来共同对抗第三方。
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还有一种更不均衡的三角形关系图，那就是图中只有一条虚线。例如，卡罗尔和爱丽丝是朋友，同时，卡罗尔和鲍勃也是朋友。但是，鲍勃和爱丽丝却是敌人。比如，鲍勃和爱丽丝两人曾经是情侣，却因分手导致关系破裂，如今鲍勃和爱丽丝都向自己的朋友卡罗尔抱怨对方。不难理解，这种情况会给整个朋友圈带来极大的心理压力。要使这个关系网恢复平衡，要么鲍勃和爱丽丝的关系缓和，要么卡罗尔与双方中的一方决裂，站到另一方的阵营中去。
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不管是上述的哪一种情况，关系图的平衡与否都与乘法有着很大的关系。如果任意两边符号的乘积（无论正负）等于第三边的符号，那么这个三角关系就是稳定的。而在不稳定的三角形关系图中，两边符号的乘积和第三边的符号是相反的。
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这些关系网背后的含义我们暂不谈论，即使我们从一个纯数学的角度来审视这些关系网，也会发现一些有趣的问题。考虑一个多边的关系网，假设网络中的每一方都认识其他各方，让我们来考虑这样一个问题：哪些关系结构是稳定的？显然，“各方都友好”是一个很稳定的网络结构：网络中的各方彼此之间都是朋友关系，网络中的每一个三角形都是均衡的（三边均为实线），所以，这个关系网肯定是稳定的。比较不容易想到的是，稳定的关系网络结构并不只这一种。比如，“冷战”也是一种稳定的关系结构：网络中的所有人分为两大敌对阵营（两个阵营可以是任意大小、任意组成形式的），同一阵营里的所有人互为好友，而与对方阵营里的每个人都互为敌人（这种情况恐怕相当常见）。事实上，这种两级化的“冷战”关系网是非常稳定的，这是唯一一种稳定性能和“各方都友好”型关系网相媲美的关系结构。因为我们不难验证，任何分出3个阵营的关系网都会使关系网中的某些三角形处于不均衡状态。
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很多历史学家用这种关系网络的模型来分析第一次世界大战前的国际形势，1872~1907年间，英国、法国、俄国、意大利、德国和奥匈帝国之间的关系发生过多次反复：一时结成联盟，一时又翻脸反目。这些关系的变化都可以用下图的关系网络表示出来。
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经过分析可以看出，前5幅关系图都是不均衡、不稳定的关系图，因为每幅图中至少有一个三角形是不均衡的。为了解决相互关系中的不均衡性，这6个国家不断地重新结盟或关系破裂，但每次的变化又造成了关系网中新的不均衡性。最终，在第6幅图中，欧洲分裂成了两个势不两立的敌对阵营，这样的关系网络在理论上是稳定的，但两大阵营的敌对关系最终把整个欧洲拖进了战争的深渊。
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举这个例子，并不是为了说明关系网络的模型有多么强大的预测能力，事实上，这种模型的预测能力并不强大，稳定的关系网也不能避免战争的发生。在这里，我想说明的是，这些复杂的国际关系变化在很大程度上都基于一个非常简单的道理：“我的敌人的敌人就是我的朋友”，而这个道理其实就是乘法运算中最基本的“负负得正”法则。只要能从纷繁复杂的表象中提炼出事物的抽象本质，负数运算这种看似与现实世界关系不大的数学技巧，其实可以帮助我们解开很多现实生活中的难题，看清很多现象背后的必然趋势。
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001354]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第4章 交换律：7×3与3×7都等于21
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儿童的数学教育方法就像国际形势一般充满变数，差不多每过10年的时间，就会出版新的教材和出现新的教学方法。这些变化的结果就是，每一代父母都在儿女的数学教材面前一筹莫展。20世纪60年代，我的父母就受到了这样的打击，他们惊讶地发现自己竟然无力辅导我小学二年级的数学功课，因为他们从没学过对数，也完全没听说过维恩图这种东西。
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现在，轮到我面对这样的难题了。“爸爸，你可以告诉我怎么做这道乘法题吗？”我心想：“当然没问题，不管怎么说我也是大学数学教授。”但是，没过一分钟，我的女儿就开始抗议了：“爸爸，老师不是这么教的啊，你那是老式的算法了。你难道不知道‘格子乘法’吗？那‘部分乘积’你总该知道吧？”
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这些打击人自信心的情形一再发生，这促使我重新考虑乘法最基本、最原始的意义。虽然乘法看似是很简单、很自然的运算，但仔细想想，其中还真有不少微妙的地方。
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就说乘法代表的意思，7×3到底是指“3个7相加”，还是“7个3相加”呢？
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在某些文化和某些语言中，这个问题表述得会比较清楚。我有一个来自伯利兹的朋友，他是这样背诵乘法口诀表的：“1乘以7得7，2乘以7得14，3乘以7得21……”他的这种方法很清楚地解决了上一节中提出的问题，在每个算式中，第一个数字是乘数，第二个数字是被乘数。莱昂纳尔·里奇的经典歌曲的歌词“你是我一辈子、两辈子、三辈子的恋人”里也同样沿用了这种方法。（如果歌词是“你是我恋人的三辈子”，这歌准红不了！）
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可能你会觉得我说了这么多话，完全是废话，哪个是乘数、哪个是被乘数有区别吗？3×7和7×3难道得出的不是同一个结果吗？你说得也没错。但是，我之所以提出这个问题，是因为我想在此深入地讨论一个较为抽象的问题：乘法的交换律真的是这么明显吗？a×b=b×a真的是理所当然的吗？我记得我在小时候第一次学到乘法交换律的时候，觉得十分吃惊，你是不是也跟我一样呢？
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为了体验乘法交换律的神奇之处，让我们先假装自己并不知道3×7等于7×3。我们先来计算3个7的结果是多少：背一下乘法口诀表，一七得七，二七十四，三七二十一，我们知道答案是21。我们再来计算一下7个3的结果是多少：一三得三，二三得六，三三得九……你不觉得有点儿奇怪，这些数字与7的乘法口诀表里的数字一点儿都不一样！然后我们继续背下去……四三十二，五三十五，六三十八，然后，哈，七三二十一！
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通过上面的一段描述，我想说明这样一个问题：如果你把乘法运算看作多次加法（即在一个数字上加上同一个数字，反复多次），那么乘法的交换律并不是显而易见的。
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但是，如果我们借助一些视觉上的帮助，这个问题就清楚多了。我们不妨把7×3想象成一个长方形的矩阵，每行有3个小点，一共有7行，如下图所示。
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