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假设你在商场准备买一条新牛仔裤。牛仔裤的标价是50美元，现在购买可以享受8折优惠。这个折扣价格还是挺有吸引力的，但是在美国购物需要缴纳消费税，消费税是商品价格的8%。如果你有意购买这条牛仔裤，店员就会非常热情地恭维你：呀，这条裤子真是太适合你了，你看多合身啊，穿着多显身材啊。说完这些话以后，店员就开始扫描价签帮你结账，在这个过程中，这个店员突然停下来，神神秘秘地说：“我再给你打个折吧，我先在原价的基础上算消费税，然后再给你打8折，这样的话就能帮你多省几元钱，你认为怎么样？”
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这个店员真是热情。不过，你听完她说的话总觉得哪里有点儿不对劲。于是，你回答说：“谢谢，不用了。你还是先给我8折优惠，再计算消费税吧，这样我应该能少付点消费税。”
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我来问你：这两种算法，到底哪一种比较省钱呢？（假设两种算法都不违反消费税法规。）
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面对这样的问题，很多人一时反应不过来。他们会用加法来解决这个问题，先算出税款和折扣额，再从总价里减去折扣额，加上税款，得到最后应付的价格。按照店员的算法，牛仔裤原价为50美元，8%的消费税就是4美元，税后总价为54美元。然后，店员给顾客8折优惠，54美元的20%是10.80美元。54美元减去10.80美元，最后应付43.20美元。而按照顾客的算法，先按照原价打8折，即50美元的折后价为40美元，然后40美元的8%是3.20美元，最后应付金额是40美元加上3.20美元，仍然是43.20美元。
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原来两种算法的结果是一样的，真是神奇！
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但实际上，我们根本没必要进行这么复杂的计算，只需使用乘法交换律就可以解决这一问题。速算的关键是用乘法代替加法。按照店员的算法，先加8%的消费税，再打8折，也就是原价乘以1.08，然后再乘以0.8。而顾客的算法则是先打8折再加消费税，也就是原价乘以0.8，然后再乘以1.08。因为乘法交换律的缘故，1.08×0.8=0.8×1.08，所以，这两种算法的实付金额显然是没有差别的。
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如果说买牛仔裤是一件小事，那么，养老金账户的选择就是一个很大的理财决策了。很多人都弄不清楚，究竟应该选择传统的养老金计划，还是应该选择401（k）养老金计划。抽象来说，这个问题是，如果你有一笔钱用于投资，你可以选择在投资开始时先缴税，也可以选择在投资结束收回资金时再缴税，那么你到底应该怎么选择呢？
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与上面买牛仔裤的例子一样，乘法交换律告诉我们，如果其他因素（税率、投资回报率等）相同，那么先缴税与后缴税是一样的（遗憾的是，这些其他因素很少会完全一样）。如果说投资的年回报率相同，缴税的税率也相同，那么不管是选择投资一开始的时候缴税，还是选择投资结束收回资金的时候缴税，结果都是一样的。
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当然，我这里讨论的是数学原理，而非理财建议。在现实生活中，问题往往并没有这么简单，在养老金计划的选择上，有很多额外的问题需要考虑，比如，在你退休的时候，你的收入是比现在高还是比现在低？税率是比现在高还是比现在低？你是否打算每期按政府规定的上限缴纳养老金的个人部分？你认为到你退休时，国家的养老金提取免税政策会有变化吗？如果不考虑这些因素（请不要误解我的意思，这些因素都是需要详细考虑的，只是从数学的角度来说，不考虑这些因素会使问题较为简化），那么先缴税还是后缴税是没有区别的。在这里，我只是想说明一个问题：乘法交换律在很多理财决策中都是很有用的。
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关于如何选择养老金账户的问题，网上的很多个人理财讨论区里都有非常激烈的讨论。虽然从乘法交换律的角度来说，有些争论是毫无道理的，但是网上还是有很多贴吧吧主和博主坚决不承认这一点。你看，到了实际应用中，乘法交换律并没有得到广泛认可，很多人都没有完全掌握这个简单的法则，因为有些时候乘法交换律和我们的直觉是相互抵触的。
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为什么我们会有意无意地忽视或抵制乘法交换律呢？也许是因为在我们的日常生活中，做事的顺序往往比较重要，先做还是后做的结果往往不同。你不能先吃蛋糕然后再去买蛋糕；你也不可能先脱袜子，然后再脱鞋子。
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著名的物理学家穆雷·盖尔曼对交换律有着十分“独特”的认识。这位十分成功的科学家在年轻时也曾为自己的未来担忧。当时，盖尔曼即将从耶鲁大学毕业，准备进入研究生院深造。盖尔曼对学校的品牌十分在意，他认为自己必须在常春藤盟校继续攻读博士学位。遗憾的是，普林斯顿大学的研究生院没有录取盖尔曼，虽然哈佛大学录取了他，却迟迟不肯给他发奖学金或助学金。当时，盖尔曼最好的选择就是去麻省理工学院攻读博士学位，他为此感到极度沮丧，因为在盖尔曼的心目中，麻省理工学院只不过是一所脏兮兮的技术类学院，根本不符合他高贵的品位。最后，盖尔曼还是接受了麻省理工学院的录取通知，去那里继续完成学业。多年以后，当谈起自己当年的选择，盖尔曼声称，当时自己甚至考虑过自杀。他表示，之所以放弃了自杀的念头，是因为他意识到去麻省理工学院读书和自杀两件事是不服从交换律的：去麻省理工学院读书并不妨碍他日后自杀，但如果自杀了就不能再去麻省理工学院读书了。既然日后如有需要时仍可以选择自杀，不妨先去麻省理工学院读书。
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对于不可交换律的重要性，盖尔曼是十分敏感的。我相信，作为一名量子物理学家，盖尔曼在日后的学习和工作中一定对不可交换律有着更为深刻的理解：很多时候，自然界就是不服从交换律的。而且，这绝对是一件好事。正是因为有了不可交换律，世界才能是我们今天看到的样子。如果任何事物都服从交换律，物质就不可能是固态的，原子也会自动毁灭。
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在量子力学发展的初期阶段，维尔纳·海森堡和保罗·狄拉克发现了一条和我们平常的直觉认识极不相符的重要定律。如果我们用p表示一个粒子的动量，用q表示这个粒子的位置，那么，出乎人类意料的是，在自然界中，p×q≠q×p。这条定律就是著名的海森堡测不准原理。如果自然界没有这种奇妙的不可交换律，原子就会毁灭，万事万物，包括我们人类也都不可能存在。
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所以，我们每个人都应该注意自己的p和q，并且把这个道理教给我们的孩子。
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第5章 无理数：除法带给我们的困惑
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其实，算术这个学科有一条自带的评论音轨，告诉我们算术的本质和目的到底是什么。可惜的是，大部分学习数学的人都忙于研究长除法和公分母，而完全关掉了这条评论音轨。在我看来，这条音轨才是算术的本质：算术就是不断寻找更全面、更完美的数字的过程。
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如果我们只满足于数数，满足于加法和乘法运算，那么自然数，也就是1、2、3……就足够用了。但是，聪明的人类很快就提出了一个更为高级的问题：如果什么都没有，该如何表示？我们需要创造一个新的数字，那就是零。接下来，既然我们可以借款和负债，那么我们又需要负数。加入零和负数以后，这个新的数字集合就是整数。整数和自然数一样，是非常自然和完整的，但整数的产生赋予人类更多的力量：现在我们不仅可以进行加法和乘法运算，还可以做减法运算。
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但是，当我们试着和别人分享东西，新的问题又产生了。把一个数平均分成几份有时是不可能的，除非我们再次扩大数字定义的范围。为此，我们发明了分数。分数是两个整数的值，所以它的学名叫作有理数。很遗憾，当接触到有理数的知识，很多学生就开始感到迷惑，并视数学为恐怖的学问了。
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确实，除法以及除法的结果产生了不少让大家迷惑不解的东西。其中最令人抓狂的莫过于描述整体的一部分居然可以有那么多种不同的方式。
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如果你把一块巧克力蛋糕从中间切开，切成大小相同的两小块，那么你可以说每一小块是整块蛋糕的“一半”。你也可以说，每一小块是整块蛋糕的1/2（1/2的意思就是两份同样大小的东西中的一份，1和2之间的那一条线正是象征着切割）。除此之外，你还可以说，每一小块蛋糕是整块蛋糕的50%，50%就是100份中的50份。除此之外，你还可以引入小数的概念，你也可以说每一小块是0.5份整块蛋糕。
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也许正是因为选择过多，我们才会在面对分数、小数和百分数的时候感到迷惑，感到无所适从。电影《我的左脚》中就有一个鲜活的例子。《我的左脚》讲的是克里斯蒂·布朗的真实故事。克里斯蒂·布朗是一位天才的爱尔兰作家、画家和诗人。克里斯蒂·布朗出生在一个工薪阶级的大家庭中，先天患有脑瘫，几乎无法说话，也不能控制自己的大部分肢体活动。只有他的左脚是灵活的。从小，克里斯蒂·布朗一直被家人当作一个残疾人，尤其是他暴虐的父亲，总是对克里斯蒂充满仇恨，十分残酷地对待他。
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电影中最关键的情节之一是发生在厨房里的一幕。克里斯蒂的姐姐正坐在父亲旁边，安静地做着数学作业。而克里斯蒂仍像往常一样，歪歪扭扭地坐在椅子上，被安置在房间的角落里。突然，克里斯蒂的姐姐打破了沉默，她问父亲：“1/4的25%是多少？”她的父亲仔细地想了想，回答说：“1/4的25%？这真是一个愚蠢的问题。1/4不就是25%吗？难道还有1/4的1/4吗？”姐姐回答说：“当然有1/4的1/4啦，克里斯蒂，你说呢？”这时，克里斯蒂的爸爸轻蔑地说：“啊，你问他？他懂些什么？”
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