1701001955
1701001956
乔的这个发现属于代数的范畴，（虽然别人可能不会承认这一点，但是作为一名骄傲的父亲，我一定要坚持这一说法！）因为她发现了两个变量之间的一种关系：她的年龄x和她姐姐的年龄y，这两个变量虽然一直在变，但它们之间的关系却始终不变。不管我的两个女儿如何成长，利亚永远会比乔大两岁：y=x＋2。
1701001957
1701001958
代数就是这样一种语言，它用最自然的方法描述变量之间的关系。想要流利地掌握这种语言并不容易，我们需要一定的练习才能熟练地使用它。为什么呢？因为在代数这门语言中，存在着一些陷阱，法语称这些陷阱为“faux amis”，意思是“假的朋友”。所谓“假的朋友”，就是指两种语言中（此处的两种语言是日常用语和代数语言）的两个词语，听起来是相关联的，好像是一个意思，实际上翻译过来却是两个截然不同的意思。
1701001959
1701001960
比如，一条走廊的长度是y码，如果换算成英尺则是f英尺。那么，你能用公式表达出y和f的关系吗？
1701001961
1701001962
我有一位朋友名叫格兰特·威金斯，他是一位教育咨询家。威金斯曾多次用这道题目考过一些学生和老师。据威金斯说，一半以上的学生都会给出错误的答案。就算这些学生刚刚顺利地通过了代数考试，也还是会在这道题上“栽跟头”。
1701001963
1701001964
怎么样，你要不要试一试？如果你觉得答案是y=3f，那么恭喜你，你也加入了这道题的“答错俱乐部”！
1701001965
1701001966
这么简单的题目，怎么会出错呢？y=3f简直就是照“1码等于3英尺”这句话直译过来的。但是，只要你试着代入几个数字，你就会发现这个公式写反了。比如说，走廊的长度是10码，人人都知道10码等于30英尺。但是，当你把y=10、f=30代入上述公式的时候，你就会发现这个公式根本不对。
1701001967
1701001968
正确的公式应该是f=3y。在这个公式里，3的意思是“每码为3英尺”。当你用码数y乘以每码3英尺，“y码”的码和“每码3英尺”的“码”相互消去，得数的单位就变成了英尺，这才是我们想要的正确答案。
1701001969
1701001970
在面对这种问题的时候，坚持带着计量单位进行运算，并确保计量单位能够互相消去，最后得到正确的得数，就可以避免上述错误。比如说，在第5章中，我们曾经讲过一个威瑞森公司的客服经理和顾客争执的故事。如果这位经理在运算的时候能注意数值的计量单位，我想她就不至于分不清美元和美分，也就不会闹出那么大的笑话了。
1701001971
1701001972
有一类特殊的公式被称为恒等式。还记得代数课上的因式分解和多项式乘法吗？那时候，你的操作对象就是恒等式。现在，你在生活中还是可以用到恒等式，你可以用它们来表演一些余兴数学“特技”，让你的朋友们对你刮目相看。著名的物理学家理查德·费曼就曾被这样的“特技”震撼过，虽然费曼的反应也很快，还善于速算和心算。费曼是这样讲述这个故事的：
1701001973
1701001974
在洛斯阿拉莫斯工作的时候，我发现汉斯·贝特的计算能力非常强。比如说，有一次我们试着把几个数字代入一个等式，当需要计算48的平方数是多少时，我立刻伸手去拿计算器，可是汉斯·贝特不假思索地告诉我：“48的平方数是2 300。”我半信半疑地按着计算器的按钮，贝特补充说道：“准确地说，48的平方数是2 304。”
1701001975
1701001976
果然，我按下计算器的等号按钮后，计算器显示的结果是2 304。我满怀佩服地对贝特说：“哇，你太厉害了！”
1701001977
1701001978
贝特回答说：“50附近数字的平方数算起来是有捷径的，你不知道吗？你只要先计算50的平方数，也就是2 500，然后算出50和你所要计算的数字的差，用这个差乘以100，再用2 500减去这个乘积就可以了。要算48的平方数的话，50减去48等于2，用2 500减去200，得数就是2 300。但是，这是一个比较粗略的得数。如果你要精确的结果的话，那就再算出50和你所要计算的数字的差的平方，与上面的粗略得数相加即是精确得数了。也就是，2 300加上2的平方数（4），最后的结果等于2 304。”
1701001979
1701001980
贝特的速算能力给费曼留下了深刻的印象。那么，贝特所说的算法，到底是用了什么样的原理呢？其实，他就是用到了恒等式：
1701001981
1701001982
（50＋x）2=2 500＋100x＋x2
1701001983
1701001984
贝特把这个恒等式背了下来，当需要计算48的平方数时，他只要将x=－2代入上述恒等式就可以得到答案。
1701001985
1701001986
为了对上面的恒等式有一个更深的了解，我们不妨借助图像的帮助。想象我们有一块正方形的地毯，地毯的边长是50＋x。
1701001987
1701001988
1701001989
1701001990
1701001991
显然，这块地毯的面积就是（50＋x）的平方数，下面，我们来看看这块地毯的面积是由哪几个部分构成的。首先，这块地毯包括一个边长为50的正方形区域（其面积为2 500）；然后还有两个一模一样的50×x的长方形（面积分别为50x，所以两个长方形的面积之和是100x）；最后，我们还剩下一个边长为x的小正方形，这个小正方形的面积就是贝特给出的矫正项。
1701001992
1701001993
恒等式表现出数字之间的关系，这种关系不仅对贝特和费曼那样的理论物理学家有用，对普通人也同样有用。比如，任何投资股市的人都可以用到一个和上文中贝特给出的恒等式类似的恒等式。假设某一年间股市低迷，你的投资组合惨痛地缩水50%，然后第二年间股市反弹，你的投资组合又涨了50%，那么你最终是赚了还是赔了呢？答案是，虽然第二年股市反弹，但最终你的投资组合和两年前的初始价值相比仍然赔掉了25%。为什么呢？原因在于，第一年你的投资组合跌了1/2，年末价值是初始值乘以0.5。第二年股价又上升了50%，所以第二年年末的最终价值等于第一年年末价值乘以1.5。最终，你的投资组合的价值是初始值乘以0.5，再乘以1.5，也就是初始值的0.75。所以说，你仍然赔掉了25%的本金。
1701001994
1701001995
事实上，如果你的投资组合在两个相邻的年份中一赔一赚，那么不管你是先赔再赚还是先赚再赔，只要赚和赔的比率数值一样，最后算算净值你一定是赔钱的。因为我们有如下这样一个恒等式：
1701001996
1701001997
（1－x）（1＋x）=1－x2
1701001998
1701001999
在赔钱的那一年，你的股票账户的市值缩水，缩水的幅度是1－x（比如，在上文中，x=0.5）。然后在赚钱的那一年，你的股票账户又增值了，增值的幅度是1＋x。所以，两年过去后，你的股票账户净值发生了如下变化：
1701002000
1701002001
（1－x）（1＋x）
1701002002
1701002003
根据上文的算式，股票账户的净值变化为：
1701002004