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（50＋x）2=2 500＋100x＋x2
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贝特把这个恒等式背了下来，当需要计算48的平方数时，他只要将x=－2代入上述恒等式就可以得到答案。
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为了对上面的恒等式有一个更深的了解，我们不妨借助图像的帮助。想象我们有一块正方形的地毯，地毯的边长是50＋x。
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显然，这块地毯的面积就是（50＋x）的平方数，下面，我们来看看这块地毯的面积是由哪几个部分构成的。首先，这块地毯包括一个边长为50的正方形区域（其面积为2 500）；然后还有两个一模一样的50×x的长方形（面积分别为50x，所以两个长方形的面积之和是100x）；最后，我们还剩下一个边长为x的小正方形，这个小正方形的面积就是贝特给出的矫正项。
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恒等式表现出数字之间的关系，这种关系不仅对贝特和费曼那样的理论物理学家有用，对普通人也同样有用。比如，任何投资股市的人都可以用到一个和上文中贝特给出的恒等式类似的恒等式。假设某一年间股市低迷，你的投资组合惨痛地缩水50%，然后第二年间股市反弹，你的投资组合又涨了50%，那么你最终是赚了还是赔了呢？答案是，虽然第二年股市反弹，但最终你的投资组合和两年前的初始价值相比仍然赔掉了25%。为什么呢？原因在于，第一年你的投资组合跌了1/2，年末价值是初始值乘以0.5。第二年股价又上升了50%，所以第二年年末的最终价值等于第一年年末价值乘以1.5。最终，你的投资组合的价值是初始值乘以0.5，再乘以1.5，也就是初始值的0.75。所以说，你仍然赔掉了25%的本金。
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事实上，如果你的投资组合在两个相邻的年份中一赔一赚，那么不管你是先赔再赚还是先赚再赔，只要赚和赔的比率数值一样，最后算算净值你一定是赔钱的。因为我们有如下这样一个恒等式：
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（1－x）（1＋x）=1－x2
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在赔钱的那一年，你的股票账户的市值缩水，缩水的幅度是1－x（比如，在上文中，x=0.5）。然后在赚钱的那一年，你的股票账户又增值了，增值的幅度是1＋x。所以，两年过去后，你的股票账户净值发生了如下变化：
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（1－x）（1＋x）
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根据上文的算式，股票账户的净值变化为：
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1－x2
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重点是，只要x的值不是0，那么1－x2的值永远是小于1的。所以在上述情况下（两个相邻的年份一赔一赚，赚和赔的比率数值一样），你永远无法完全挽回损失。
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显然，上述公式是一个比较简单的公式。事实上，各种变量之间的关系千变万化，很多公式会比上面的例子复杂得多。然而，代数的魅力是如此之大，人们总喜欢在各种各样的领域中用公式限定一些变量之间的关系，即使有时候这些公式是武断和没有道理的。比如，在恋爱方面，有种观点认为情侣之间的年龄差距不应该过大。到底年龄差距多大算是过大呢？很多网站给出了这样一个魔法公式，如果你的年龄是x，那么你的恋人的年龄必须大于x/2＋7。
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也就是说，如果一位82岁的老先生想追求一位48岁的中年女士，那就太可怕、太不合适了，就算这位女士处于单身待嫁的状态也绝对不行。但是，如果这位老先生的年龄是81岁，那么他追求一位48岁的女士就完全合理。
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唉，这让我该怎么说呢……
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001359]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第8章 求根难题与虚拟的复数
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2 500多年来，一代又一代的数学家使出浑身解数，千方百计地想要解出未知数x的值。解出未知数x的过程又叫作“求根”的过程。在人类思想史上，不断地挑战更难、更复杂的方程式，求解方程的根的过程，已经化作了一首首伟大且光辉的史诗。
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被记载下来的最早的求根难题之一，出现在公元前430年的提洛岛。当时，提洛岛上发生了瘟疫，岛上的居民十分烦恼。为了解决岛上的瘟疫问题，居民们虔诚地求助于德尔斐神谕。神谕告诉岛民们，想要解决瘟疫，他们需要把阿波罗神的正方体祭坛的体积扩大一倍。不幸的是，当时的数学还没有那么发达，要把正方体形状的祭坛体积扩大一倍，就必须先计算出2的立方根，而当时的人们并不知道如何进行这样的计算。那时候，希腊人的几何工具只有两种：一是直尺，二是圆规。
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后来，人类慢慢地探索出了这类问题的解法。但是，有一小块阴云却总是挥之不去，那就是，即使在人们发现了这类问题的解法以后，最终的结果中却常常会包含负数的平方根。这种根的产生时常受到嘲笑和质疑，因为负数的平方根看起来意义不明，甚至自相矛盾。
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直到公元1 700年左右，数学家们才就这个问题达成了共识：他们认为负数的平方根应该是不存在的。
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首先，负数的平方根不能是一个正数，因为正数乘以正数总是等于正数，而我们要求这个数的平方根是负数。然后，负数的平方根也不能是负数，因为我们知道负负得正，负数乘以负数也应该是正数。看起来，没有任何数字乘以自己本身以后会得到一个负数。
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这是数学史上的一次危机。这样的危机也不是第一次发生了，每当一个现存运算方法的应用范围不断扩大，最终进入到一个它似乎不适用的领域时，都会产生这样的危机。比如小数减去大数就必须引入负数的概念（见第3章），除法的发明所产生的问题迫使我们发明小数和分数（见第5章）。平方根的问题最终使得数字的领域又一次被扩展了。