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与前面那些危机相比，这一次的危机更加难以解决，也造成了更多的痛苦和挣扎。这些痛苦和挣扎的痕迹一直保留到了今天。直到今天，－1的平方根仍然用符号i来表示，而i代指imaginary，是“虚构、想象”的意思。
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这种新的数字（如果你是一名不可知论者，你可能会拒绝称它为“数字”，而只承认它是一种“符号”）的性质是这样定义的：
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i2=－1
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你可能立即会说，数轴上找不到i这个数字。你说的一点儿都没错。从这个意义上来说，i是一种非常奇怪的数字，它比零、负数、分数，甚至无理数还要奇怪，不管怎么说，零、负数、分数、无理数在数轴上都还有它们的一席之地。
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但是，只要有足够的想象力，我们也可以想象出这样的一个i。它不存在于数轴上，而是存在于一条和数轴垂直的轴上，这条轴叫作虚轴。当你把这条我们想象出来的轴和我们熟悉的数轴融合起来的时候，我们就不再只有一条线，而是得到了一个2D空间——呈现出一个面——它就是我们给新型数字制造的生存空间。
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这些新型的数字叫作“复数”。“复数”的“复”并不是“复杂”的意思，而是“复合”的意思。复数包含两种数，它们是实数和虚数，这两种数组合在一起，就组成一种“混合”的数，比如2＋3i。
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复数是非常伟大的发明，复数是数学的巅峰。复数有着实数的一切美好性质，你可以对它们进行加减乘除的运算。但复数却比实数更好，因为复数的根永远存在。你可以计算一个负数的平方根、立方根或者任何根，这些根仍然会是一个复数。
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更美好的是，我们还有一个相关的伟大定理，那就是代数基本定理。代数基本定理告诉我们：任何多项式的根一定是复数。这个定理的重要之处在哪里呢？它意味着漫长的旅途终于走到了目的地，从此以后，数字的范围再也不需要扩大了！在这条漫漫长路上，我们人类走了很多年，这条路的起点是1，终点和最高峰则是复数。
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如果我们能使复数图像化、视觉化，你可能更容易欣赏到复数的美（即使没有达到那种程度，你也可以对它多一些了解和信任）。讲到这里，重点是搞清楚“乘以i”的过程到底是一个什么样的过程。假设我们用i去乘以任意一个正数，比如说乘以3，那么我们就会得到一个虚数：3i。
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从上图中可以看出，用i乘以一个数的过程从图像上来说是一个逆时针旋转90度的过程。进行运算之前，实数3是一个方向朝东、长度为3的箭头；而进行运算之后，这个箭头逆时针旋转了90度，成为一个长度不变，但是方向朝北的新箭头。
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因此，复数是电气工程师们的好朋友。有了这种简洁的方法来表示90度的旋转，处理电压、电流，或是电场、磁场的变化问题就方便多了，因为在这些问题中, 振动或者波动的频率常常出现1/4周期（即90度）的相位相差。
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实际上，几乎所有领域的工程师都离不开复数。在航空航天工程领域中，复数帮助我们简化了机翼升力的计算；在土木和机械工程领域，工程师们利用复数来分析人行天桥的振动、摩天楼的晃动，以及路面不平时车辆的振动情况。
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通过观察这种90度的旋转，我们也能够更好地理解i2=－1的真正含义。既然一个正数乘以i意味着相应的箭头逆时针方向旋转90度，那么如果我们用i2去乘以一个正数，这个正数所对应的箭头就会逆时针方向旋转180度（两个90度之和）。也就是说，原本朝东的箭头现在朝西了。
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回忆一下，当我们用一个正数乘以－1，这个正数就变成了负数，相应的箭头逆时针方向旋转了180度，和上面乘以i2的结果完全吻合。这就是为什么i2=－1。
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在信息技术高度发展的今天，电子计算机给复数注入了新的活力，一些有着数千年历史的求根问题也有了新的进展。不要小看你桌上放置的小巧的个人电脑，在它们不用忙着传输网络数据或收发电子邮件的时候，它们的闲余计算能力已经足够解决很多我们祖先想都不敢想的数学问题了。
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1976年的时候，我在康奈尔大学的同事约翰·哈伯德开始从事牛顿法的研究。牛顿法是一种在复数域上求方程近似解的非常强大的算法。首先，牛顿法会选取一个初始值（对方程根的初始估计值），然后用一定的算法来提高和改善这个初始值，进一步接近方程的真实根。通过不断重复这个过程，每一个循环都用上一个循环的终值来作为初始值，牛顿法可以一步步地接近方程的真实根，最终求得误差很小的近似解。
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哈伯德感兴趣的是有多个根的方程式。对于有不止一个根的方程式来说，上述的牛顿法最终会找到哪一个根呢？经过研究，哈伯德证明，如果一个方程式有两个根，那么牛顿法最终会找出距离初始值较近的那个根。但对于有3个或更多根的方程式，哈伯德有点儿一筹莫展了，因为对于有两个根的方程式的求解方法并不适用于有3个或更多根的方程式。
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为了解决这个问题，哈伯德决定采取实验的方法。他的这种实验叫作“数值实验”。
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具体的实验方法是，找一台计算机，编写好程序，让这台计算机多次运行牛顿法。然后，哈伯德让程序把数百万个不同的初始值用彩色点标注出来，最终收敛为同一个根的初始值点就标示为同一种颜色。并且，哈伯德按照不同初始值收敛速度的不同，给这些初始值点赋予了不同的明暗度。
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在得到实验结果之前，哈伯德的预期是这样的：每个根应该能够快速地“抓住”距离它们较近的初始值点，因此这些初始值点的明度就会较高。所以，哈伯德认为，最终的图像应该是几块交汇的色块，离真实的根越近的地方越明亮，离真实的根越远的地方越暗淡。但是，这几个色块的边缘交汇处会呈现什么样的情况呢？哈伯德想不清楚这个问题，在实验结果出来前，他没有办法预测出边缘交汇处的情况。
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