打字猴:1.701001e+09
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1701001005 1 –+–+–+ … = arc tan 1 =
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1701001007 在研究了等比数列的应用之后,我们接下来讨论等比数列在应用过程中容易出现的错误。等比数列的定义指出,对于任意x,只要 –1
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1701001010 1 +x+x2+x3+x4+ … =
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1701001012 我们来看当x= –1时会出现什么结果。根据等比数列公式,有:
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1701001017 这个答案不可能是正确的。因为我们加、减的都是整数,所以最后结果不可能是像1/2这样的分数。即使这个级数收敛于某个数字,也不会是1/2。不过,这个答案并不是完全没有道理。观察该级数的部分和,就会发现:
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1701001022 以此类推,由于部分和中有一半是1,还有一半是0,因此1/2这个答案似乎不无道理。
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1701001024 如果x取不符合条件要求的值,比如x= 2,根据等比数列,就会得出:
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1701001029 这个答案似乎比1/2更荒谬。多个正数的和怎么可能是负数呢?不过,这个答案也许同样可以找到一个合理的解释。比如,我们在本书第3章见过,在类似于10 ≡ –1(mod 11)的关系中,10k≡ (–1)k(mod 11)这个等式是成立的。也就是说,正数也可以表现出负数的特性。
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1701001031 让我们打破常规,以一种创造性思维去理解1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …的意义。我们在本书第4章讨论过,每一个正整数都可以表示成2的幂次方之和的唯一形式,这是计算机采用的二进制的基础。每个整数都是有限个2的幂次方之和。比如,106 = 2 + 8 + 32 + 64中包含4个2的幂次方。现在,我们假设无穷大的整数也可以表示成这种形式,其中2的幂次方的个数可以根据需要,想用多少个就用多少个。那么,无穷大的整数就会具有以下这种典型的表现形式:
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1701001033 1 + 2 + 8 + 16 + 64 + 256 + 2 048 + …
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1701001035 其中,2的幂次方连续不断地出现。我们不清楚这些数字有什么含义,但我们可以建立高度一致的运算规则。比如,只要我们确定一种自然的进位方式,就可以对这些数字进行加法运算。比如,在上面这个无穷级数的基础上加上106的2的幂次方表达式,就会得到:
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1701001040 其中,2 + 2得4;接下来,8 + 8得16,它与后面的16相加得32,32又与后面一个32相加得64;两个64相加得128,而从256往后的所有项都保持不变。现在,我们给“最大”的无穷大整数加上1:
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1701001045 在这种情况下会发生一连串的如上所述的加法运算,而横线下面看不到一个2的幂次方。也就是说,和可以视为0。既然(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) + 1 = 0,那么在等式两边同时减去1,就会发现这个无穷级数的和似乎真的等于 –1。
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1701001047 下面这个匪夷所思的无穷级数求和是我的最爱:
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