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1701001010 1 +x+x2+x3+x4+ … =

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1701001012 我们来看当x= –1时会出现什么结果。根据等比数列公式，有：

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1701001017 这个答案不可能是正确的。因为我们加、减的都是整数，所以最后结果不可能是像1/2这样的分数。即使这个级数收敛于某个数字，也不会是1/2。不过，这个答案并不是完全没有道理。观察该级数的部分和，就会发现：

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1701001022 以此类推，由于部分和中有一半是1，还有一半是0，因此1/2这个答案似乎不无道理。

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1701001024 如果x取不符合条件要求的值，比如x= 2，根据等比数列，就会得出：

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1701001029 这个答案似乎比1/2更荒谬。多个正数的和怎么可能是负数呢？不过，这个答案也许同样可以找到一个合理的解释。比如，我们在本书第3章见过，在类似于10 ≡ –1(mod 11)的关系中，10k≡ (–1)k(mod 11)这个等式是成立的。也就是说，正数也可以表现出负数的特性。

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1701001031 让我们打破常规，以一种创造性思维去理解1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …的意义。我们在本书第4章讨论过，每一个正整数都可以表示成2的幂次方之和的唯一形式，这是计算机采用的二进制的基础。每个整数都是有限个2的幂次方之和。比如，106 = 2 + 8 + 32 + 64中包含4个2的幂次方。现在，我们假设无穷大的整数也可以表示成这种形式，其中2的幂次方的个数可以根据需要，想用多少个就用多少个。那么，无穷大的整数就会具有以下这种典型的表现形式：

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1701001033 1 + 2 + 8 + 16 + 64 + 256 + 2 048 + …

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1701001035 其中，2的幂次方连续不断地出现。我们不清楚这些数字有什么含义，但我们可以建立高度一致的运算规则。比如，只要我们确定一种自然的进位方式，就可以对这些数字进行加法运算。比如，在上面这个无穷级数的基础上加上106的2的幂次方表达式，就会得到：

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1701001040 其中，2 + 2得4；接下来，8 + 8得16，它与后面的16相加得32，32又与后面一个32相加得64；两个64相加得128，而从256往后的所有项都保持不变。现在，我们给“最大”的无穷大整数加上1：

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1701001045 在这种情况下会发生一连串的如上所述的加法运算，而横线下面看不到一个2的幂次方。也就是说，和可以视为0。既然(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) + 1 = 0，那么在等式两边同时减去1，就会发现这个无穷级数的和似乎真的等于 –1。

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1701001047 下面这个匪夷所思的无穷级数求和是我的最爱：

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