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回忆一下，当我们用一个正数乘以－1，这个正数就变成了负数，相应的箭头逆时针方向旋转了180度，和上面乘以i2的结果完全吻合。这就是为什么i2=－1。
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在信息技术高度发展的今天，电子计算机给复数注入了新的活力，一些有着数千年历史的求根问题也有了新的进展。不要小看你桌上放置的小巧的个人电脑，在它们不用忙着传输网络数据或收发电子邮件的时候，它们的闲余计算能力已经足够解决很多我们祖先想都不敢想的数学问题了。
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1976年的时候，我在康奈尔大学的同事约翰·哈伯德开始从事牛顿法的研究。牛顿法是一种在复数域上求方程近似解的非常强大的算法。首先，牛顿法会选取一个初始值（对方程根的初始估计值），然后用一定的算法来提高和改善这个初始值，进一步接近方程的真实根。通过不断重复这个过程，每一个循环都用上一个循环的终值来作为初始值，牛顿法可以一步步地接近方程的真实根，最终求得误差很小的近似解。
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哈伯德感兴趣的是有多个根的方程式。对于有不止一个根的方程式来说，上述的牛顿法最终会找到哪一个根呢？经过研究，哈伯德证明，如果一个方程式有两个根，那么牛顿法最终会找出距离初始值较近的那个根。但对于有3个或更多根的方程式，哈伯德有点儿一筹莫展了，因为对于有两个根的方程式的求解方法并不适用于有3个或更多根的方程式。
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为了解决这个问题，哈伯德决定采取实验的方法。他的这种实验叫作“数值实验”。
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具体的实验方法是，找一台计算机，编写好程序，让这台计算机多次运行牛顿法。然后，哈伯德让程序把数百万个不同的初始值用彩色点标注出来，最终收敛为同一个根的初始值点就标示为同一种颜色。并且，哈伯德按照不同初始值收敛速度的不同，给这些初始值点赋予了不同的明暗度。
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在得到实验结果之前，哈伯德的预期是这样的：每个根应该能够快速地“抓住”距离它们较近的初始值点，因此这些初始值点的明度就会较高。所以，哈伯德认为，最终的图像应该是几块交汇的色块，离真实的根越近的地方越明亮，离真实的根越远的地方越暗淡。但是，这几个色块的边缘交汇处会呈现什么样的情况呢？哈伯德想不清楚这个问题，在实验结果出来前，他没有办法预测出边缘交汇处的情况。
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结果，电脑给出了非常令人吃惊的结果。
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色块交汇的边缘区域看起来非常特别，形状很抽象。在这些边缘地带，色彩以一种令人无法相信的混乱状态交叠在一起，每一种颜色和另一种颜色在无数个点交汇，而且每次不是两种颜色交汇，而是3种颜色交汇。也就是说，只要是任何两种颜色碰到一起的地方，第三种颜色就会立即加入其中，和另两种颜色混合到一起。
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当哈伯德把边缘地带的图像放大，他发现形状里还有较小的形状，较小的形状里又有更小的形状。
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这种结构在数学上被称为“分形”。分形是一种复杂的几何形状，分形的微观结构是不断重复的，也就是说每一部分都是整体缩小后的形状。
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此外，哈伯德还发现，不同色块的边缘地带是混沌的。有时两个初始值点一开始非常接近，它们会肩并肩地一起震荡一阵子，然后突然转向，奔赴两个截然不同的根。对于边缘地带的初始值点来说，最后会收敛向哪一个根是完全无法预测的，就好像轮盘赌最终会停在哪个数字上是完全无法预测的一样。初始状态的一些极其微小、难以察觉的因素会极大地影响最终结果。
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哈伯德所做的上述工作是“复杂动力学”领域的先驱工作。“复杂动力学”这个新兴的学科结合了混沌理论、复分析理论，以及分形几何的内容。在某种层面上，我们可以说“复杂动力学”让几何学又一次找到了它的“根”。印度曾发现一份公元前600年的梵文手稿，这份手稿是写给寺庙建筑工人的一份说明书，里面详细地描述了如何用几何的方法求平方根，以满足寺庙里祭坛的建设需要。2 500多年以后的1976年，数学家们又一次展开了“求根”的研究，不同的是，如今这份求根的说明不再用梵文写就，而是用二进制的程序代码写成。
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也许，不管人类进化到了哪一步，我们永远都离不开某些“虚构”的伙伴——复数。
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001360]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第9章 应用题：冷热水龙头一起灌满浴缸需要多长时间？
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欧文叔叔是我爸爸的弟弟，他和我爸爸一起在镇上经营着一家鞋店。欧文叔叔大部分时间都待在鞋店楼上的办公室里，负责处理财务方面的事情。这是因为欧文叔叔虽然很有数学头脑，却不善于跟顾客打交道。
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在我10岁或11岁的时候，欧文叔叔给我出了我人生中的第一道应用题。直到今天，我仍然清楚地记得那道题目，我想大概是因为当时我把这道题目做错了，而且为此羞愧了好长时间，所以我才会记得这么清楚。
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这道应用题是关于往浴缸里灌水的问题：如果只开冷水龙头，灌满浴缸需要半个小时；如果只开热水龙头，灌满浴缸需要1个小时。问：如果把冷水龙头和热水龙头同时打开，灌满浴缸需要多长时间？
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我清楚地记得我的答案是45分钟，当然我完全是瞎猜的，我相信不少人都会想到45分钟这个答案。听到我的答案后，欧文叔叔摇了摇头、咧嘴笑了，然后，他开始用他那带着鼻音的尖细嗓音给我讲解这道题。