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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001359]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第8章 求根难题与虚拟的复数
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2 500多年来，一代又一代的数学家使出浑身解数，千方百计地想要解出未知数x的值。解出未知数x的过程又叫作“求根”的过程。在人类思想史上，不断地挑战更难、更复杂的方程式，求解方程的根的过程，已经化作了一首首伟大且光辉的史诗。
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被记载下来的最早的求根难题之一，出现在公元前430年的提洛岛。当时，提洛岛上发生了瘟疫，岛上的居民十分烦恼。为了解决岛上的瘟疫问题，居民们虔诚地求助于德尔斐神谕。神谕告诉岛民们，想要解决瘟疫，他们需要把阿波罗神的正方体祭坛的体积扩大一倍。不幸的是，当时的数学还没有那么发达，要把正方体形状的祭坛体积扩大一倍，就必须先计算出2的立方根，而当时的人们并不知道如何进行这样的计算。那时候，希腊人的几何工具只有两种：一是直尺，二是圆规。
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后来，人类慢慢地探索出了这类问题的解法。但是，有一小块阴云却总是挥之不去，那就是，即使在人们发现了这类问题的解法以后，最终的结果中却常常会包含负数的平方根。这种根的产生时常受到嘲笑和质疑，因为负数的平方根看起来意义不明，甚至自相矛盾。
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直到公元1 700年左右，数学家们才就这个问题达成了共识：他们认为负数的平方根应该是不存在的。
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首先，负数的平方根不能是一个正数，因为正数乘以正数总是等于正数，而我们要求这个数的平方根是负数。然后，负数的平方根也不能是负数，因为我们知道负负得正，负数乘以负数也应该是正数。看起来，没有任何数字乘以自己本身以后会得到一个负数。
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这是数学史上的一次危机。这样的危机也不是第一次发生了，每当一个现存运算方法的应用范围不断扩大，最终进入到一个它似乎不适用的领域时，都会产生这样的危机。比如小数减去大数就必须引入负数的概念（见第3章），除法的发明所产生的问题迫使我们发明小数和分数（见第5章）。平方根的问题最终使得数字的领域又一次被扩展了。
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与前面那些危机相比，这一次的危机更加难以解决，也造成了更多的痛苦和挣扎。这些痛苦和挣扎的痕迹一直保留到了今天。直到今天，－1的平方根仍然用符号i来表示，而i代指imaginary，是“虚构、想象”的意思。
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这种新的数字（如果你是一名不可知论者，你可能会拒绝称它为“数字”，而只承认它是一种“符号”）的性质是这样定义的：
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i2=－1
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你可能立即会说，数轴上找不到i这个数字。你说的一点儿都没错。从这个意义上来说，i是一种非常奇怪的数字，它比零、负数、分数，甚至无理数还要奇怪，不管怎么说，零、负数、分数、无理数在数轴上都还有它们的一席之地。
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但是，只要有足够的想象力，我们也可以想象出这样的一个i。它不存在于数轴上，而是存在于一条和数轴垂直的轴上，这条轴叫作虚轴。当你把这条我们想象出来的轴和我们熟悉的数轴融合起来的时候，我们就不再只有一条线，而是得到了一个2D空间——呈现出一个面——它就是我们给新型数字制造的生存空间。
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这些新型的数字叫作“复数”。“复数”的“复”并不是“复杂”的意思，而是“复合”的意思。复数包含两种数，它们是实数和虚数，这两种数组合在一起，就组成一种“混合”的数，比如2＋3i。
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复数是非常伟大的发明，复数是数学的巅峰。复数有着实数的一切美好性质，你可以对它们进行加减乘除的运算。但复数却比实数更好，因为复数的根永远存在。你可以计算一个负数的平方根、立方根或者任何根，这些根仍然会是一个复数。
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更美好的是，我们还有一个相关的伟大定理，那就是代数基本定理。代数基本定理告诉我们：任何多项式的根一定是复数。这个定理的重要之处在哪里呢？它意味着漫长的旅途终于走到了目的地，从此以后，数字的范围再也不需要扩大了！在这条漫漫长路上，我们人类走了很多年，这条路的起点是1，终点和最高峰则是复数。
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如果我们能使复数图像化、视觉化，你可能更容易欣赏到复数的美（即使没有达到那种程度，你也可以对它多一些了解和信任）。讲到这里，重点是搞清楚“乘以i”的过程到底是一个什么样的过程。假设我们用i去乘以任意一个正数，比如说乘以3，那么我们就会得到一个虚数：3i。
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从上图中可以看出，用i乘以一个数的过程从图像上来说是一个逆时针旋转90度的过程。进行运算之前，实数3是一个方向朝东、长度为3的箭头；而进行运算之后，这个箭头逆时针旋转了90度，成为一个长度不变，但是方向朝北的新箭头。
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因此，复数是电气工程师们的好朋友。有了这种简洁的方法来表示90度的旋转，处理电压、电流，或是电场、磁场的变化问题就方便多了，因为在这些问题中, 振动或者波动的频率常常出现1/4周期（即90度）的相位相差。
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实际上，几乎所有领域的工程师都离不开复数。在航空航天工程领域中，复数帮助我们简化了机翼升力的计算；在土木和机械工程领域，工程师们利用复数来分析人行天桥的振动、摩天楼的晃动，以及路面不平时车辆的振动情况。
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通过观察这种90度的旋转，我们也能够更好地理解i2=－1的真正含义。既然一个正数乘以i意味着相应的箭头逆时针方向旋转90度，那么如果我们用i2去乘以一个正数，这个正数所对应的箭头就会逆时针方向旋转180度（两个90度之和）。也就是说，原本朝东的箭头现在朝西了。
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