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X的奇幻之旅:在现实生活中发现数学思维之美 第8章 求根难题与虚拟的复数
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2 500多年来,一代又一代的数学家使出浑身解数,千方百计地想要解出未知数x的值。解出未知数x的过程又叫作“求根”的过程。在人类思想史上,不断地挑战更难、更复杂的方程式,求解方程的根的过程,已经化作了一首首伟大且光辉的史诗。
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被记载下来的最早的求根难题之一,出现在公元前430年的提洛岛。当时,提洛岛上发生了瘟疫,岛上的居民十分烦恼。为了解决岛上的瘟疫问题,居民们虔诚地求助于德尔斐神谕。神谕告诉岛民们,想要解决瘟疫,他们需要把阿波罗神的正方体祭坛的体积扩大一倍。不幸的是,当时的数学还没有那么发达,要把正方体形状的祭坛体积扩大一倍,就必须先计算出2的立方根,而当时的人们并不知道如何进行这样的计算。那时候,希腊人的几何工具只有两种:一是直尺,二是圆规。
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后来,人类慢慢地探索出了这类问题的解法。但是,有一小块阴云却总是挥之不去,那就是,即使在人们发现了这类问题的解法以后,最终的结果中却常常会包含负数的平方根。这种根的产生时常受到嘲笑和质疑,因为负数的平方根看起来意义不明,甚至自相矛盾。
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直到公元1 700年左右,数学家们才就这个问题达成了共识:他们认为负数的平方根应该是不存在的。
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首先,负数的平方根不能是一个正数,因为正数乘以正数总是等于正数,而我们要求这个数的平方根是负数。然后,负数的平方根也不能是负数,因为我们知道负负得正,负数乘以负数也应该是正数。看起来,没有任何数字乘以自己本身以后会得到一个负数。
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这是数学史上的一次危机。这样的危机也不是第一次发生了,每当一个现存运算方法的应用范围不断扩大,最终进入到一个它似乎不适用的领域时,都会产生这样的危机。比如小数减去大数就必须引入负数的概念(见第3章),除法的发明所产生的问题迫使我们发明小数和分数(见第5章)。平方根的问题最终使得数字的领域又一次被扩展了。
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与前面那些危机相比,这一次的危机更加难以解决,也造成了更多的痛苦和挣扎。这些痛苦和挣扎的痕迹一直保留到了今天。直到今天,-1的平方根仍然用符号i来表示,而i代指imaginary,是“虚构、想象”的意思。
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这种新的数字(如果你是一名不可知论者,你可能会拒绝称它为“数字”,而只承认它是一种“符号”)的性质是这样定义的:
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i2=-1
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你可能立即会说,数轴上找不到i这个数字。你说的一点儿都没错。从这个意义上来说,i是一种非常奇怪的数字,它比零、负数、分数,甚至无理数还要奇怪,不管怎么说,零、负数、分数、无理数在数轴上都还有它们的一席之地。
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但是,只要有足够的想象力,我们也可以想象出这样的一个i。它不存在于数轴上,而是存在于一条和数轴垂直的轴上,这条轴叫作虚轴。当你把这条我们想象出来的轴和我们熟悉的数轴融合起来的时候,我们就不再只有一条线,而是得到了一个2D空间——呈现出一个面——它就是我们给新型数字制造的生存空间。
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这些新型的数字叫作“复数”。“复数”的“复”并不是“复杂”的意思,而是“复合”的意思。复数包含两种数,它们是实数和虚数,这两种数组合在一起,就组成一种“混合”的数,比如2+3i。
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复数是非常伟大的发明,复数是数学的巅峰。复数有着实数的一切美好性质,你可以对它们进行加减乘除的运算。但复数却比实数更好,因为复数的根永远存在。你可以计算一个负数的平方根、立方根或者任何根,这些根仍然会是一个复数。
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更美好的是,我们还有一个相关的伟大定理,那就是代数基本定理。代数基本定理告诉我们:任何多项式的根一定是复数。这个定理的重要之处在哪里呢?它意味着漫长的旅途终于走到了目的地,从此以后,数字的范围再也不需要扩大了!在这条漫漫长路上,我们人类走了很多年,这条路的起点是1,终点和最高峰则是复数。
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如果我们能使复数图像化、视觉化,你可能更容易欣赏到复数的美(即使没有达到那种程度,你也可以对它多一些了解和信任)。讲到这里,重点是搞清楚“乘以i”的过程到底是一个什么样的过程。假设我们用i去乘以任意一个正数,比如说乘以3,那么我们就会得到一个虚数:3i。
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从上图中可以看出,用i乘以一个数的过程从图像上来说是一个逆时针旋转90度的过程。进行运算之前,实数3是一个方向朝东、长度为3的箭头;而进行运算之后,这个箭头逆时针旋转了90度,成为一个长度不变,但是方向朝北的新箭头。
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因此,复数是电气工程师们的好朋友。有了这种简洁的方法来表示90度的旋转,处理电压、电流,或是电场、磁场的变化问题就方便多了,因为在这些问题中, 振动或者波动的频率常常出现1/4周期(即90度)的相位相差。
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实际上,几乎所有领域的工程师都离不开复数。在航空航天工程领域中,复数帮助我们简化了机翼升力的计算;在土木和机械工程领域,工程师们利用复数来分析人行天桥的振动、摩天楼的晃动,以及路面不平时车辆的振动情况。
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通过观察这种90度的旋转,我们也能够更好地理解i2=-1的真正含义。既然一个正数乘以i意味着相应的箭头逆时针方向旋转90度,那么如果我们用i2去乘以一个正数,这个正数所对应的箭头就会逆时针方向旋转180度(两个90度之和)。也就是说,原本朝东的箭头现在朝西了。
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