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结果，电脑给出了非常令人吃惊的结果。
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色块交汇的边缘区域看起来非常特别，形状很抽象。在这些边缘地带，色彩以一种令人无法相信的混乱状态交叠在一起，每一种颜色和另一种颜色在无数个点交汇，而且每次不是两种颜色交汇，而是3种颜色交汇。也就是说，只要是任何两种颜色碰到一起的地方，第三种颜色就会立即加入其中，和另两种颜色混合到一起。
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当哈伯德把边缘地带的图像放大，他发现形状里还有较小的形状，较小的形状里又有更小的形状。
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这种结构在数学上被称为“分形”。分形是一种复杂的几何形状，分形的微观结构是不断重复的，也就是说每一部分都是整体缩小后的形状。
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此外，哈伯德还发现，不同色块的边缘地带是混沌的。有时两个初始值点一开始非常接近，它们会肩并肩地一起震荡一阵子，然后突然转向，奔赴两个截然不同的根。对于边缘地带的初始值点来说，最后会收敛向哪一个根是完全无法预测的，就好像轮盘赌最终会停在哪个数字上是完全无法预测的一样。初始状态的一些极其微小、难以察觉的因素会极大地影响最终结果。
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哈伯德所做的上述工作是“复杂动力学”领域的先驱工作。“复杂动力学”这个新兴的学科结合了混沌理论、复分析理论，以及分形几何的内容。在某种层面上，我们可以说“复杂动力学”让几何学又一次找到了它的“根”。印度曾发现一份公元前600年的梵文手稿，这份手稿是写给寺庙建筑工人的一份说明书，里面详细地描述了如何用几何的方法求平方根，以满足寺庙里祭坛的建设需要。2 500多年以后的1976年，数学家们又一次展开了“求根”的研究，不同的是，如今这份求根的说明不再用梵文写就，而是用二进制的程序代码写成。
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也许，不管人类进化到了哪一步，我们永远都离不开某些“虚构”的伙伴——复数。
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001360]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第9章 应用题：冷热水龙头一起灌满浴缸需要多长时间？
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欧文叔叔是我爸爸的弟弟，他和我爸爸一起在镇上经营着一家鞋店。欧文叔叔大部分时间都待在鞋店楼上的办公室里，负责处理财务方面的事情。这是因为欧文叔叔虽然很有数学头脑，却不善于跟顾客打交道。
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在我10岁或11岁的时候，欧文叔叔给我出了我人生中的第一道应用题。直到今天，我仍然清楚地记得那道题目，我想大概是因为当时我把这道题目做错了，而且为此羞愧了好长时间，所以我才会记得这么清楚。
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这道应用题是关于往浴缸里灌水的问题：如果只开冷水龙头，灌满浴缸需要半个小时；如果只开热水龙头，灌满浴缸需要1个小时。问：如果把冷水龙头和热水龙头同时打开，灌满浴缸需要多长时间？
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我清楚地记得我的答案是45分钟，当然我完全是瞎猜的，我相信不少人都会想到45分钟这个答案。听到我的答案后，欧文叔叔摇了摇头、咧嘴笑了，然后，他开始用他那带着鼻音的尖细嗓音给我讲解这道题。
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欧文叔叔说：“史蒂芬，你先要搞清楚每分钟有多少水流进浴缸。”冷水龙头30分钟能灌满浴缸，也就是说每分钟可以灌满浴缸的1/30。而热水龙头的水流量比较小，60分钟才能灌满浴缸，也就是说热水龙头每分钟可以灌满浴缸的1/60。那么，当你把冷水龙头和热水龙头同时打开，每分钟可以灌入浴缸的水流量就是：
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分数的加法运算怎么做呢？首先我们应该观察到，60是30和60的最小公倍数，所以，我们需要先把改写成, 于是：
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