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上述证明已经流传于世长达数千年了。这个证明是欧几里得最先证实的，是《几何原本》一书中第一册的第一个命题。但是，在给出这个证明的时候，教科书往往直接抛出最后一张图——两个巧妙的圆、完美的字母标注。我个人认为，这种教学方法恰恰剥夺了学生们寻找答案的乐趣，这是一个教学事故！实际上，前面几幅图才是最重要的，那几幅图是在灵感和直觉的指引下发现和探索的过程。我相信，只要有正确的引导，每一个学生都能凭自己的努力完成上述证明过程。
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显然，上述证明的关键是，要有画出两个圆的灵感。运用类似的方法，我们还可以证明一个几何学中更加有名的结果：三角形内角和等于180度。
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证明三角形内角和为180度的方法不止一个，我认为最好的证法并不是欧几里得的证明方法，而是在欧几里得之前由毕达哥拉斯给出的一个证明方法。具体的证明方法如下：假设一个任意三角形的三个内角分别为a、b和c。
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画一条经过三角形顶点的直线，这条直线平行于三角形的底边。
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现在，我们要复习一下平行线的性质。如果两条平行线被第三条直线所截，如下图所示。
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那么，上图中标为a的两个角相等。（如果你还记得术语的话，这两个角叫作内错角。如果两条平行线被第三条直线所截，则内错角相等，这是平行线的一个基本性质。）
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现在，让我们来把平行线的这条性质运用到上图的三角形中去。我们已经画了一条和底边平行的辅助线，如下图所示。
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根据内错角相等的性质，我们可以发现，左上的角a应该等于三角形的内角a。同理，右上的角b也等于三角形的内角b。在三角形的上顶点处，a、b、c这3个角拼成了一条直线，因为直线的角度是180度，因此我们证得三角形内角和确实等于180度。
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毕达哥拉斯的这一证明是数学史上最基础、最重要的证明之一。这种用平行线做辅助线的方法，给了我们无穷的灵感，照亮了我们前进的道路。只要画出这条神奇的平行线作为辅助线，下面的证明方法便呼之欲出，几乎不用思索，就像弗兰肯斯坦博士造出的怪物一样，不用推动自己就会走。
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让我再假设一下。我觉得，如果有一天我们的数学教育能够换一种方法教几何学，强调几何学有趣、直觉和灵感的一面，告诉孩子们灵感的火花有时能给出漂亮又简洁的证明。那么，我想下一代的年轻人会对几何学产生更好的印象，他们在谈到几何学的时候也许会说：几何学不仅教会我逻辑，也教会我如何发挥创造性。
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001366]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第14章 圆锥的魔法：从回音廊到抛物线
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回音廊是一类很有趣的声学建筑，它的内部结构通常都是某种特定形状的拱顶。纽约市的中央火车站附近有一个著名的回音廊，就在一家名为生蚝酒吧的餐厅外面。回音廊是约会的好地方，你可以和恋人站在人来人往的通道两侧，相距40英尺甚至更远，却仍然可以悄声低语互诉衷肠。只要站对了地方，你们俩可以清晰地听到对方说的话，而通道里的行人却完全听不见你们的对话，真是相当奇妙！
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为了达到这种效果，你和你的恋人需要找到回音廊的对角线，然后分别站在对角线两端的角落里，面对墙壁说话。你们所站的位置，在数学上叫作焦点，焦点是这个空间里的两个特殊的点，站在这里说话，你的声音会被集中放大，然后通过特殊弧度的墙壁和拱顶的反射，传递到你的恋人那里。当你在焦点位置说话时，你说话的声波会向四周传播，撞上四周的墙面并被反射。声波到达各处墙面的时间不一，所以反射的时间和方向也各不一样。这些被反射的声波各行其是，混作一团，当它们传到40英尺开外的地方时，那里的人已经无法听清你所说的话了（所以，经过的路人不会听到你和你的恋人的对话）。但是，当你站在焦点处说话时，所有被墙壁反射回来的声波却会在同一时间到达另一个焦点的位置。这些声波会互相加强，你的恋人因此能够清楚地听到你的声音。
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椭圆形就有这样的聚焦性质，不过比上面的情况要简单许多。如果我们有一个内壁铺满镜子的椭圆形，这个椭圆里就会有两个特殊的点（下图中的F1和F2），它们叫作椭圆的焦点。椭圆的两个焦点有如下性质：从一个焦点发射出的任何光束都一定会被反射到另一个焦点上去。
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