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与欧几里得不同，另一位伟大的古代数学家阿基米德却认识到了无穷的强大力量。借助“无限”的力量，阿基米德解决了一些用其他方法无法解决的问题。在这个过程中，他差一点儿就发明了微积分——这比微积分的最终发明人牛顿和莱布尼茨提早了近2 000年的时间。
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在本书的下一部分里，我会详细讨论微积分这个天才发明的伟大与美丽。现在，我们先看看在计算圆周率p的过程中，微积分的理念是如何崭露头角，并给我们留下了最初的惊鸿一瞥。
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首先，我们来复习一下什么叫作圆周率。圆周率是两个距离的比值，一个距离是圆的直径（穿过圆心且两端均在圆上的线段），另一个距离是圆的周长（整个圆周的长度），周长和直径的比值就是圆周率p。
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如果你是一个谨慎严密的思考者，说到这里你可能已经开始担心了：如何保证所有圆的圆周率都一样？大圆和小圆的圆周率是否会不同？答案是：不会。所有圆的圆周率都一样。要严格证明这个结论并不容易，这里我给出一种比较直觉化的说明。
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假设我们有一台复印机，这台复印机具有缩放功能，可以把圆形的图像放大或缩小，比如说我们把一个圆的形状缩小50%。因为我们用的是复印技术，这样做以后，新产生的小圆图像中的所有距离都比大圆缩小了50%，包括圆的周长和直径。那么，当我们计算小圆的圆周率时，分子和分母上的两个50%应该互相抵消，所以小圆的圆周率和大圆的圆周率完全一致。这个通用的圆周率就是p。
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当然，以上的推导并不能告诉我们圆周率p的值有多大。拿出最原始的工具——绳子和尺子，我们就会发现圆周率p的值约为3。如果你量得再准确一些，
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就会发现圆周率p的值接近于。但是我们还不满意，我们想知道圆周率p的精确值，或者至少知道圆周率p在我们选定的任何精度要求下的估计值。怎么才能做到这一点呢？这个问题把我们的祖先们难住了。
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在揭示阿基米德的天才算法之前，我们先谈谈圆周率p和圆的另一个重要联系。圆的面积公式如下：
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A=pr2
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这个公式里的A是圆的面积；p是一个希腊字母，代表圆周率；r是圆的半径，也就是直径的1/2。
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我相信每个人在中学的学习生活中都背诵过这个公式。但是，这个公式是怎么得来的呢？中学的几何课上通常不会给出圆面积公式的证明。如果之后你上了大学，学习了微积分课程，你可能看到过用微积分完成的对圆的面积公式的证明。但是，学习微积分真的有必要吗？证明一个如此基本的公式，真的一定要用到微积分知识吗？
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答案是肯定的。
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问题的难点是：圆是曲线，而不是直线。如果圆是由直线围成的，就不会有任何问题：长方形、正方形、三角形的面积都不难求。但是，要计算曲线围成的图形的面积，比如圆的面积，就没那么简单了。
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在数学领域，我们应该如何研究和处理曲线？我们可以把曲线想象成是由很多小段的直线构成的。当然，事实并非如此，因为曲线是光滑的，很多小直线连起来得到的也只能是不光滑的折线。但是，这种思路是完全行得通的，只要你增加一个取极限的步骤：想象曲线是由无数多段小直线构成的，每一段小直线的长度是无穷小。这其实就是整个微积分知识中最基本、最核心的理念。
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有了这个理念以后，如何求解圆的面积呢？方法不止一种，下面我们给出其中的一种方法。首先，我们把一个圆平均切成4份，然后摆放成下图中的形状：
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上图中，牙印般形状的面积和圆的面积是一样的。这个事实看起来毫无用处，因为我们也不知道如何求解这个奇怪图形的面积。但是，通过这个变形的过程，我们却得到了两条很重要的信息：第一，图形下半部标出的两段弧线的长度和是圆周长的1/2（另一半现在变成了图形上半部分的两段弧线）。既然圆周长等于直径乘以圆周率，那么这两段弧线的长度和就应该等于半径乘以圆周率（因为半径是直径的一半）。所以，我们在上图中标示出的这两段弧线的长度和为pr。第二，这个奇怪图形左右两侧的直线部分长度为r，因为这个图形是由4个1/4圆形拼成的，而这两条直线原本就是圆的半径。
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现在，我们来重复上面的步骤。这一次我们不把圆平均切成4份，而是平均切成8份。拼合的方法和上面一样。
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这个展开的形状看起来比上一个好一些。虽然上下边界还是由很多小圆弧组成，但是，参差不齐的程度有所降低。另外一个进步是，左右两边的直线也没有4等分的时候那样倾斜。虽然如此，上一段提到的两个性质却没有变：一是底边长仍为pr；二是左右两边长仍为r。而且，这个牙印形图案的面积显然还是等于切割前的圆形面积，因为我们只不过是把圆形切开并展开了而已。这个圆形的面积，正是我们想要求解的结果。
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