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小女孩的妈妈也在场，母女两人都爱好数学，她们觉得这是一个做数学实验的好机会。于是，小女孩把一个卫星定位仪随身带上了摩天轮，这个仪器可以随时记录下她所处的海拔高度。随着摩天轮的转动，小女孩不断升高，一直升到让人心跳加速的最高点，然后小女孩又开始下降，回到最低处，接着继续上升，重复上述旋转过程，周而复始。卫星定位仪记录下来的小女孩的高度是如何变化的呢？让我们来看看下图的结果。
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这个图形就是一个正弦波。当一个人或一个物体沿着圆周运动时，如果我们记录下他在水平方向或是垂直方向上的位移情况，我们就会得到一个正弦波。
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那么，这种正弦波和数学课上讲到的正弦函数有什么关系呢？要解答这个问题，我们需要思考一下这个小女孩在某一个时刻所处的位置。在下图中的这个时刻，小女孩的位置和圆心发出的水平线（图中虚线）成一个角度，这个角度我们记作角a。
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为了简单起见，让我们假设上图中三角形的斜边长度是1，也就是说这个摩天轮的半径为1。那么，sina就是此刻小女孩所处的高度。在这里，我们把摩天轮圆心所处的水平线定义为参照平面，小女孩的高度是相对这个参照平面而言的。当小女孩和图中虚线所成的角度为a的时候，她的高度就是sina。
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随着摩天轮不断旋转，a的角度也是不断变化的，很快，角a超过了90度，也就是说，角a不能被看作一个直角三角形的内角了。这可怎么办呢？我们是不是就不能继续用三角函数了呢？
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当然不是。百折不挠的数学家们才不会被这点儿小困难吓倒，他们立刻扩大了正弦函数的定义范围，让正弦函数可以适用于任意角度（而不仅仅是零到90度的角度）。随着定义的扩大，sina仍然表示小女孩的高度（以圆心所在的水平线为参照面），但现在这个高度可以是正的，也可以是负的，因为有时候小女孩在圆心水平线以上，有时则在圆心水平线以下。随着角a的度数不断增加（或者不断减少，甚至变成负数），sina所呈现的函数图像就是我们所说的“正弦波”。每当角a为360度（一个整圆）时，正弦波的图形就重复一次。
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圆周运动和正弦波之间的转化，存在于我们日常生活的方方面面，不过我们很少会注意到。在办公室里，我们头顶的日光灯总是发出轻微的嗡嗡声，是因为远在电网的另一端，发电机正在以每秒60周的速度运转，而这种重复圆周运动被转化成了交流电。如果没有交流电，就不会有我们现代化的生活方式所需的一切电器，交流电正是一种正弦电波。当你对我说话，而我用耳朵听你说话时，我们两人的身体都在使用正弦波。你的声带震动是正弦波，由此产生了声音；我的耳内毛细胞的震动也是正弦波，由此我才能听见你的声音。只要我们敞开心扉，倾听正弦波那无声的吟唱，我们就会感到一种深深的触动。正弦波几乎能够让我们的灵魂产生共鸣。
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当美人玉指轻拨吉他弦，当孩子玩耍甩动跳绳，所产生的形状都是正弦波的形状。池塘里的涟漪、沙丘上的波痕、斑马身上的条纹，这一切都是大自然中最自然、最常见的形状。在荒凉和虚无之中，在单调和寂静的地方，升起了美丽的正弦月，世界因此充满活力。
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为什么正弦波的形状如此常见？这背后有着深刻的数学原因。每当平衡体系变得不稳定的时候——不管失衡的原因是物理的、化学的还是生物的——失衡产生的第一个信号就是正弦波，有时候是一个正弦波，有时候是几个正弦波的叠加。
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正弦波是大自然中各种形状的基石，它就像原子一般重要：没有原子就没有任何物质，没有正弦波就没有任何形状和组织。在拉丁语中“sine qua non”意为某物产生的必不可少的前提和先决条件，其中的sine恰好与英文中的“正弦”一词拼法一致。
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事实上，“正弦生万物”这句话真的一点儿也不夸张。从量子力学的角度上说，万物的基础——原子就是一些正弦波组合（即正弦波的叠加）。从宇宙学的角度来说，正弦波也是世上万物存在的基础。天文学家们通过研究宇宙微波背景辐射的光谱（即其中的正弦波的性质和形态），发现此光谱的性质与“宇宙暴胀理论”的预测最为吻合。目前，“宇宙暴胀理论”是研究宇宙的产生和发展的理论中最为成功的一个。根据宇宙暴胀理论的预测，万物起源于宇宙大爆炸，在大爆炸的过程中，处处均匀的平衡体系变得不稳定，最初的非均匀正弦波也随之产生。这些原始的正弦波是从寂静和虚无中生出的物质和能量所激起的涟漪，它们催生出物质，催生出我们的宇宙。
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恒星、星系、在摩天轮上玩耍的小孩……这一切都来自宇宙大爆炸时产生的正弦波。所以，古人说“无极而太极”，我们说“正弦生万物”。
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001368]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第16章 圆周率是如何计算出来的？
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上中学的时候，我喜欢和朋友一起钻研一些经典的难题和悖论。比如，最无坚不摧的力量作用于最坚不可摧的东西上，结果会怎么样？很简单，两者都会爆炸。在我们13岁的时候，我们总是能轻而易举地回答各种哲学问题。
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其中有一个问题让我觉得很困惑：如果我和墙壁之间有一段距离，我每次都朝向墙走近距离的1/2，最终我到底能不能走到墙根儿那里去？这个问题令我感觉相当不安：我是否会无限地接近某个东西，却永远无法真正到达呢？（这大概是青春期焦虑的一种高级隐喻吧。）这个念头太恐怖了。无限总像是蒙着一层薄薄的面纱，怎么看也看不透。如果我每次都走近距离的1/2，我是否需要走无穷多步才能贴近墙？而且，我的步长会趋于无穷小吗？这太令人费解了。
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几千年来，这样的问题总是让人类头痛不已。公元前500年左右，埃利亚的芝诺提出了4个关于无穷的悖论，给同时代的人们制造了许多困惑和烦恼。在之后的几个世纪中，无穷的概念一直不被数学界所认同和承认，我想埃利亚的芝诺需要为此负一定的责任。在欧几里得的几何理论中，只承认可以由有限步操作构造出的对象，因为“无限”这个概念被认为太虚无缥缈、太不可言喻，而且在逻辑上也不够严密。