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现在，问题已经变得非常简单了。长方形的面积等于长乘以宽，pr乘以r等于pr2。拼接出来的长方形面积等于原来的圆形面积，所以圆的面积是pr2！
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这个解法的美妙之处就在于它引入了无限和极限的概念，这个概念救我们于水火。一开始，那个牙印般的图案看起来十分奇怪，求解它的面积比求解圆的面积还要困难。但只要用上极限这个“武器”，我们终于走到了那面不可抵达的墙的墙根下，一切都变得简单而美丽，云开雾散，豁然开朗。这就是微积分的伟大和美好。
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阿基米德用类似的方法求解出了圆周率。他的想法是这样的：圆可以用正多边形来代替，不断把多边形的边数加倍，最后我们就会得到一个圆。为了控制圆周率的计算精度，阿基米德把圆限制在一个内接多边形和一个外切多边形之间，下图表示了6等分、12等分和24等分的情况。
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然后，阿基米德通过勾股定理来计算这些多边形的周长，从6边形开始，到12边形、24边形、48边形，一直算到了96边形，逐步逼近圆周率的值。用96边形算出的圆周率范围是：
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如果用小数表示（阿基米德的时代还没有小数），那么阿基米德算出的圆周率范围是3.140 8~3.142 9。
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阿基米德使用的这种方法叫作“穷竭法”，因为这种方法把一个未知数p限制在两个已知数之间，然后不断挤压这两个已知数，让这个范围越变越小。多边形的边数不断增加，p的取值范围就不断减小，最终无限逼近于p的精确值。
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运用极限的思路，如果多边形边的数目趋向于无穷大，那么这个上限和下限都会趋近于p。遗憾的是，这个极限并不容易计算，没有之前把圆展开成牙印形图案的例子那么简单。圆周率p依然是那么难以捉摸，我们可以不断地算出小数点后的更多位（目前的纪录是小数点后的2.7万亿位），但却永远无法窥得它的全貌。
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除了为日后的微积分学打下基础以外，阿基米德还向我们展示了迭代的力量。他先算出一个不错的近似值，然后再在这个近似值的基础上，算出更加精确的近似值，一步步逼近准确值。通过增加小直线的数目，阿基米德越来越精确地模拟出一条平滑的曲线。
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2 000多年过去了，这一思路仍然毫不过时，现代的“数值分析”领域正是基于这种迭代的理念。工程师们用数值分析的方法设计流线型的汽车车身，生物学家用数值分析的方法模拟抗癌药物攻击癌细胞的机制。
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数值分析领域内的数学家和计算机学家们运用阿基米德的思想，创造出了很多高效率的迭代算法，有的算法每秒可以运算数十亿步。运用这些算法，世界各地的超级计算机正在不断挑战和解决着现代社会中人类面对的各种问题：从生物技术到互联网科技，再到华尔街的金融交易问题，通通可以用数值分析的方法来解决。这些算法的共同特点是：不断找到更精确的近似值，步步为营地逼近我们想要求得的精确解。
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无限和极限的力量，永无止境！
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001369]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第4部分 变化
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001370]
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第17章 微积分：找出最优路径的最可靠方法
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在我很小的时候，离我真正学习微积分知识还有很多年的时间，我就对微积分萌生了一份奇妙的感觉。我爸爸曾用一种十分敬畏的语气谈到微积分。出生于大萧条时期的爸爸没有机会接受大学教育，但是在他生命中的某个时段，他产生了对于“微积分能做什么”这个问题的微妙见解，也许是他在南太平洋修理B－24轰炸机引擎的时候。我爸爸认为，如果有一种全自动控制的高射炮，能自动发现敌机并瞄准敌机开炮，那么只有微积分这种高深的知识才能很好地控制高射炮，让它们向正确的方向开炮。
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每一年，美国有100万大学生研修微积分课程。不过我想，这其中只有很少一部分人能说清楚微积分到底是什么，以及自己为什么要学微积分，这并不是这些学生的错。微积分的知识中有那么多的技巧需要掌握，那么多新的理念需要消化和吸收，以至于我们很容易就忘记了这个学科的宏伟蓝图和大方向。
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微积分是研究“变化”的数学。微积分可以用来描述流行病的传播过程，也可以用来描述弧线球的线路变化。它适用的范围如此之广，所以微积分教科书的种类也有很多。很多的微积分教科书有上千页，但是作用并不大。
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如果你善于总结，你就会发现在这些汗牛充栋的微积分教科书中，闪光的核心主题只有两个，而其他的一切，用拉比·希勒尔的话来说，都只不过是这两条主题的注解。这两个主题就是“导数”和“积分”。导数和积分各占微积分课程的1/2，前半部分内容叫作“微分”，后半部分内容叫作“积分”。