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粗略来说，导数描述一个事物的变化速率，积分则告诉你这些变化积累起来的总体效果有多大。导数和积分在完全不同的时间发明于世界上两个完全不同的地方。积分的内容最早出现于公元前250年的古希腊，而导数的内容则于17世纪中叶才在德国和英国被发明。虽然来历大不相同，但实际上导数和积分之间却存在一种重要的联系——这样的情节大概只有在狄更斯的小说里才会出现。人类花了近2 000年的时间，才看出了这两者间的“血缘关系”。
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在下一章的内容中，我们将会仔细探究这种神奇的“血缘关系”，并且介绍积分的具体概念。本章中我们先打好基础，来讨论一下导数的问题。
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在我们的生活中，导数无处不在，只是我们常常对它“相见不相识”。比如，一个斜坡的坡度就是导数。和其他导数一样，坡度描述了一种变化速率：在这个斜坡上每走一步，你会上升或下降多少高度。陡坡的导数（坡度）比较大，而轮椅可以爬行的缓坡的导数（坡度）则比较小。
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导数的身影几乎出现在所有的学科和领域中：经济学中的边际收益、金融学里的增长率、物理学中的速度、地理学里的坡度，不管被赋予什么样的名字，这些内容的本质都是导数。遗憾的是，很多学生学习过微积分的课程以后反而糊涂了，认为导数只有一种意义，那就是表示一条曲线的斜率。
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当然，这种误解也是可以理解的。也许我们过度依赖用图像来表示变量之间的关系，每个领域的科学家都喜欢把x和y画在同一张图上，以此让这两个变量的相互作用图像化。这种图像变成了一种通用的数学语言。科学家们所关心的变化速率——不管是病毒的繁殖速度，还是飞机的飞行速度等——就这样被转化成了一个简单却十分抽象的内容：曲线的斜率。于是，可怜的学生们被困在了这个抽象的囚笼里，反而忘记了导数本来是很具体的、很实际的东西。
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和曲线的斜率一样，导数可以是正数、负数，也可以是零。正导数代表上升，负导数代表下降，而导数为零则代表不变。让我们想象一下迈克尔·乔丹灌篮前在空中飞行的轨迹吧。
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在乔丹刚起跳的时候，他的垂直速度（垂直速度是指乔丹身体所处的高度随时间变化的速率，所以垂直速度是一个导数）是正的，因为起跳后他的身体正在上升，身体所处的高度随着时间变化而增加。反之，在下落的过程中，乔丹的垂直速度是负的。当乔丹处于空中飞行路线的最高点时，他的高度在那一个瞬间是既不增加也不减少的，垂直速度为零。从这个角度看，正如人们所说的，乔丹在那一刻是“挂在半空中”的。
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在这个过程中，还涉及一个通用的规律——事物到达高峰或低谷的时候，正是它们变化得最慢、变化速率最低的时候。在我居住的美国纽约州伊萨卡市，可以很清楚地观察到这个规律。在冬天最寒冷的时候，日照时间短得可怜，一天结束另一天开始，日照时间几乎一点儿也没有变长。而一旦春天到来，白天的时间就一天比一天长，增长速率十分明显。这个现象是非常普遍、非常自然的。越是在极端的情况下（在高峰和低谷的时候），事物的变化越是缓慢。这是因为在高峰和低谷的点儿，导数是零，也就是说，在那个瞬间，没有任何变化发生，事物暂时静止了。
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高峰点和低谷点的导数为零，这个简单的性质可能是微积分学里最实际、最有用的性质之一。有了这个性质，我们就可以通过求解导数来找到一个函数的最大值和最小值。人们常常想找出完成一件事情的最快、最好或是最经济的方法，这就涉及求解函数极值的问题。
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我在高中的微积分老师乔弗瑞先生把求解函数极值的问题讲解得十分生动。有一天，他几乎是蹦蹦跳跳地进了教室，告诉我们他在雪地里远足的故事。乔弗瑞先生说，因为风很大，把别处雪地上的雪全吹到了他面前的这块雪地上。他面前的这块雪地的积雪特别厚，所以在这块雪地上他只能慢慢地走；而远处的一块草地上则完全没有积雪，走起来应该很轻松。乔弗瑞先生问我们，在这样的情况下，一个远足的人到底应该怎么走才能以最快的速度从A点到达B点呢？
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一种选择是：因为在积雪深的地方走得慢，所以远足者应该尽快走出积雪深的部分，抄近路到草地。这种选择的劣势是，在草地上要走的路程会比较长。如下图所示。
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另一种选择是：沿直线从A点走到B点，因为两点之间直线最短。这种选择的行进总距离肯定最短，但是与上一种选择相比，在积雪中的路程加长了，而且在积雪里走路速度比较慢。这种选择是最优的吗？
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运用导数的知识，我可以求解出耗时最短的最优路径。这个最优路径介于上述两种选择之间，如下图所示。
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具体的求解过程主要有4个步骤。
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第一步，我们应该意识到，从A点走到B点所花的时间（这是我们想要最小化的目标函数），取决于远足者由哪一点离开雪地步入草地，有无数个这样的点供他选择。那么，让我们把所有可以离开雪地进入草地的点都列入考虑范畴，作为我们的未知数。如何描述这个点的位置呢？我们设x为远足者在雪地里移动的总横向距离，这个变量完全可以描述出远足者从何处进入草地。
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当然，从A点走到B点的时间还取决于A点和B点的位置，以及远足者在雪地和草地上的步行速度，但这些参数在这道题目里都被视为已知。远足者唯一可以控制的变量，就是上图中的x。