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这就是微积分基本定理的好处，它极大地提高了计算的效率。正是基于这个原因，我们才会每年用这些知识难倒一批又一批的学生，逼迫他们花好几个月的时间学习如何找出这个楼梯高度的函数——这个技术的学名是“不定积分”，我们还可以把它称为求“反导数”的过程。正是因为有了这个技术，数学家们才能在这个充满变化的纷繁复杂的世界里，以更高的精度预测很多之前无法预测的东西。
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从这个角度来说，微积分是在用一种多功能切菜机般的态度来看待我们的宇宙。牛顿以及后来的数学家们发现，自然的本质就是，万物都是一小块一小块拼凑出来的。过去300年来发现的所有物理定律几乎都符合这个性质：不管是粒子的运动、热和电的传导，还是空气或水的流动，都可以看作一小块一小块的。每一小块时间或空间里的情况除了受到整体的控制之外，还受到相邻小块情况的影响。
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这一发现的应用是极为深远的。自有人类历史以来，我们第一次掌握了理性预测的能力。而且，有了微积分基本定理的帮助，我们不再需要耗时费力地逐块计算，而是可以高效优质地计算。
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我想，读到这里，我们应该更新一下微积分学的口号：“重新计算，发现更优途径！”
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001372]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第19章 指数e：关乎你婚姻成败的数字符号
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在数学中，有些数字特别有名，以至于它们有了自己专属的符号，一般这种“专属符号”都是单字母的。这可是一件大事，连麦当娜和王子（美国著名的流行音乐歌手）都还没有获得过这样的殊荣。这其中最有名的恐怕要数圆周率p了，p这个数字写成小数的话就是3.141 59……
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接下来，比较知名的就是虚数i，i是代数界的“时尚潮人”。这种“虚构出来的数”在代数学里掀起了巨大的风潮，它彻底地改写了数字的定义。
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让我们再跟e问声好吧。之所以起名为e，是因为它代表指数（exponential）的增长。e简直是高等数学里的西力（伍迪·艾伦执导电影《西力传》的主角），哪里都有它，你能想到的地方以及你想不到的地方，全都有e的身影。e不仅可以用来描述核能源的链式反应和人口爆炸，还能告诉你结婚之前交往多少个女友（男友）最合适。
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在谈论这个大家极为关心的婚恋问题之前，请允许我卖一下关子。让我们先来搞清楚，到底什么是e。e的数值是2.718 28……但是这个数字实在说明不了太多问题。我可以告诉你，e是一个无限数列的和，这个数列形式如下。
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我相信大部分读者看了这个数列以后，仍然不能理解e到底是何物，为了给大家一个直观的印象，我们来看看e的应用。
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假设你把1 000美元的本金存入银行，这家银行特别慷慨，承诺给你100%的年利息，每年复利一次。一年以后，你的账户里已经有2 000美元的资金了——本金为1 000美元，100%的利息是1 000美元，共计2 000美元。
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当你发现银行特别慷慨之后，你决定更进一步，要求更高的利息，但是银行不肯答应。如果利率保持不变的话，能不能提高计息的频率呢？比如，利率仍然是100%，但是改为每半年复利一次——也就是说，6个月之后，银行付给你50%的利息，然后在接下来的6个月之后又付给你50%的利息。显然，对储户来说，这种计息方式比每年复利一次更加有利，因为半年后拿到的利息可以更快地利滚利。但是，半年复利一次到底能比一年复利一次多赚多少钱呢？让我们来算一算。
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半年后，银行支付给你50%的利息，于是你的本金变成原来的1.5倍。再过半年，银行又支付给你50%的利息，此时你账户里的钱和半年前相比又涨了1.5倍。1.5乘以1.5等于2.25，所以一年后，你的1 000美元的本金已经变成了2 250美元。与每年复利一次的情况相比，每半年复利一次可以让你一年多赚250美元。
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如果你不停地和银行谈判，让银行在保持利率不变的前提下把复利的频率加快——每天复利一次，每秒复利一次，每纳秒复利一次，你是不是就发财了呢？我们还是有必要计算一下再下结论。
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为了让计算变得简单一些，我们把1年平均分为100个时段，每个时段复利一次。也就是说，每个时段结束之后，银行给你1%的利息（所以，年利率仍然为100%），你账户里的钱会变成原来的1.01倍；一年后，账户总额变为原来的1.01的100次方倍，即大约2.704 81倍，1 000美元的本金变成了2 704.81美元。
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让我们再总结一下，每年复利一次，年末你共有2 000美元；半年复利一次，年末你共有2 250美元；每年复利100次，年末你共有2 704.81美元。
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现在，我们又要求助于无限和极限的理念了，我们想要问这样一个问题：如果一年复利无穷多次（这种计息方法叫作连续复利），一年以后你的账户里会有多少钱？显然，这个数字应该比2 704.81美元这一金额更多，但是其实多不了太多，经过计算，在连续复利的情况下，你一年后共有2 718.28美元。这个数字正好等于1 000美元乘以e，e是下面这个极限的值：
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这是一个典型的微积分方程式。在前面的几章中，我们已经用微积分计算过圆的面积和太阳对地球的引力了。未发明微积分和发明微积分的不同之处在于，微积分敢于面对无穷大的问题，并且善于利用无穷大的力量。不管是处理极限、导数还是积分，我们都在以各种方式面对无限这个概念。
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在上面的方程式里，我们想象自己把1年分割成很多个微小的时段，这些时段可以进行无穷多次分割，最后得到所谓的“无穷多”个时段，而每个时段的时长则是无穷小（无穷多个“无穷小”的时段，听起来非常矛盾，但是这和我们前几章里所做的，不断增加多边形的边数，让每条边越来越短，最终得到一个无穷多条边的多边形——也就是一个圆——的过程是一模一样的）。随着复利计算的频率越来越高，当然你年末得到的钱也越来越多，但神奇的是，这个增长的速率却越来越小。尽管这样，一年以后你还是得到了一笔可观的利息，毕竟你存在银行的钱被复利了那么多次。
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从这个例子中，我们可以窥见e的一些端倪。当我们计算很多微小事件带来的总体变化的时候，e的身影往往就要出现了。