1701003120
1701003121
也就是说，有大约13.5%的座位被浪费掉了。
1701003122
1701003123
具体的计算过程有一点儿复杂，在此我就不演示了。但是，通过考虑两种极端情况，我们可以从直觉上验证这个答案的合理性。如果每对入场的情侣都特别珍惜座位，选择紧挨着陌生人坐下，那么剧场最终会坐满。大家高效率地利用起所有的位置，看上去特别拥挤，这是一种极端的情况。
1701003124
1701003125
1701003126
1701003127
1701003128
另一种极端情况是，谁都不肯和陌生人挨着坐，大家都放弃效率而选择舒适，每两对情侣之间就会隔着一个空位（而且每排或者是最左边一个位置空置，或者是最右边一个座位空置，如下图所示）。在这种情况下，会有1/3的位置空置，因为每对情侣需要3个座位，两个座位用来坐人，一个座位用来隔开陌生人。
1701003129
1701003130
1701003131
1701003132
1701003133
我们猜测，如果完全随机选座，那么结果应该在上述两种极端情况（完全追求效率和完全不追求效率）之间。我们取0和1/3的平均值1/6作为最后的空座率。1/6换算成百分数是16.7%，而精确结果是13.5%，这两个数字还是比较接近的。
1701003134
1701003135
在上述问题中，我们面临很多种选择，因为让情侣们坐进一个很大的剧场里有太多种不同的方法了。下面，我打算再举一个例子，还是关于如何安排一些情侣的位置，但这次我们要面对的不是空间上的位置，而是时间上的位置。这就是大家都感兴趣的婚恋问题：结婚之前，谈几场恋爱最合适？显然，在实际生活中，这个问题涉及太多复杂的因素，所以我们在此只能考虑一个简化版的婚恋模型。虽然这个模型的假设非常不现实，却还是抓住了爱情中一些令人心碎的不确定性。
1701003136
1701003137
首先，我们假设你知道你的一生中一共可以遇见多少位潜在的人生伴侣（这个数字具体是多少并不重要，重要的是：第一，你事先知道这个数字；第二，这个数字不会太小）。
1701003138
1701003139
同时我们还假设，如果你能同时遇见你所有的潜在人生伴侣，那么你可以立刻明确地将他们（她们）进行排序。人生的悲剧就在于，没有人可以同时遇见自己所有的潜在人生伴侣，我们总是以一种完全随机的顺序，一个一个地遇到他们（她们）。所以，我们永远不知道，最合适的那个人是否即将出现在下一个街角，还是我们早已经遇到过他（她），却又永远地错过了他（她）。
1701003140
1701003141
我们这个爱情游戏的游戏规则十分残酷：一旦你放弃一个人，这个人就会永远地离开你的生活，没有破镜重圆，也没有第二次遇见的机会。
1701003142
1701003143
最后，我们假设你是一个完美主义者：你的目标是和你最满意的那个人（你的列表上排名第一的那个人）结婚，如果做不到这一点，我们就判定你的婚姻失败了。哪怕你是和列表上排名第二的那个人结婚了，你还是一个失败者。
1701003144
1701003145
我们的问题是：在这样的假设条件下，你有可能找到那个你最满意的人吗？如果有可能，怎么做才能让你成功的机会最大化呢？
1701003146
1701003147
一种比较好的策略（并非最优策略）是：把你的爱情和生活划分成上下两个半场，上半场完全用来积累经验。而在下半场中，你开始认真地寻找伴侣，如果你遇到一个比你上半场交往过的所有男友（女友）都优秀的人，你就立刻和他（她）结婚。
1701003148
1701003149
这个策略让你至少有1/4的概率遇到最合适的那个人。为什么呢？首先，最合适的那个人可能在上半场出现，也可能在下半场出现，概率各为50%。同样，第二合适的那个人出现在上下半场的可能性也各占50%。也就是说，第二合适的人恰好出现在上半场，而最合适的人恰好出现在下半场的概率为25%。这种情况下，只要你严格执行上述策略，你就一定会和最合适的那个人结婚。
1701003150
1701003151
第二合适的人出现在你人生的上半场，而你的人生中只有一个人比他（她）更适合你，这个人就是最适合你的人，当且仅当这个人在下半场出现的时候，你才会决定结婚，所以在这种情况下，你是一定会成功的。可见，在游戏人生的青春岁月里，遇见一个高质量的女友（男友）是何其幸运！
1701003152
1701003153
当然，这并不是你的最优策略。最优策略是上半场的用时比下半场稍微短一些，让上半场占你整个恋爱时间的1/e,也就是大约37%的时间。根据我们的模型，这个策略是最优的婚恋策略，如果你严格采用这个策略，你和最佳伴侣结婚的概率是1/e。
1701003154
1701003155
不过，如果你的最佳伴侣也在玩这种跟e有关的游戏，那一切可就说不准了。
1701003156
1701003157
1701003158
1701003159
1701003160
X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001373]
1701003161
X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第20章 用微积分方程来分析爱情与三体问题
1701003162
1701003163
“在春天，”阿尔弗雷德·丁尼生写道，“年轻人的幻想总是会悄悄地转变为情思。”可惜，年轻人心仪的姑娘却又有着她们自己的小心思。情人之间的你来我往总是生出无穷无尽的快乐和痛苦、幸福和折磨，也正是因为如此，情场如战场，新的爱情就像新的战役一般，惊心动魄而又令人肝肠寸断。为了寻找爱情的答案，有人诉诸酒精，有人寄情于诗歌，而我们则向微积分寻求帮助。
1701003164
1701003165
对爱情的微积分分析也许只是一个数学玩笑，但它却说明了一个十分深刻的道理：就算我们永远研究不出爱人之心的规律，世界上很多无生命物体的规律却早已被数学家们所参透。这些规律是用微分方程的形式来表达的。微分方程可以用于描述互相关联的变量之间的联系，解释这些变量如何随着时间和自身的当前状况而变化。至于微分方程和爱情有什么关系，我想说，至少微分方程可以在一定程度上解释为什么“真爱之路永远不会是平坦的”。
1701003166
1701003167
为了详细解释这种对爱情的微积分分析方法，让我们借用一下罗密欧和朱丽叶的故事。罗密欧深爱着朱丽叶，但是，在我们这个版本的故事里，朱丽叶却是一个反复无常的姑娘。罗密欧越爱她，朱丽叶就越想躲避和逃离。一旦罗密欧因受到刺激而准备放弃，朱丽叶便会觉得这种冷淡具有莫名的吸引力。罗密欧总是跟随着朱丽叶的脚步，当朱丽叶爱他的时候，他更热情似火；当朱丽叶恨他的时候，他的热情也会冷却下来。
1701003168
1701003169
那么，这对不幸的恋人的爱情将会如何呢？随着时间的流逝，他们俩的爱情走势会怎样？这时候微积分该大显身手了。我们可以用微分方程来描述罗密欧和朱丽叶会如何回应对方的感情变化。只要解出这些方程式，我们就能预测这场爱情的走向和归宿。不幸的是，我们的分析显示，这对恋人的关系将会是一个无休无止的爱恨交缠的循环。幸运的是，这对恋人还有1/4情投意合的甜蜜时光。