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让我们再跟e问声好吧。之所以起名为e，是因为它代表指数（exponential）的增长。e简直是高等数学里的西力（伍迪·艾伦执导电影《西力传》的主角），哪里都有它，你能想到的地方以及你想不到的地方，全都有e的身影。e不仅可以用来描述核能源的链式反应和人口爆炸，还能告诉你结婚之前交往多少个女友（男友）最合适。
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在谈论这个大家极为关心的婚恋问题之前，请允许我卖一下关子。让我们先来搞清楚，到底什么是e。e的数值是2.718 28……但是这个数字实在说明不了太多问题。我可以告诉你，e是一个无限数列的和，这个数列形式如下。
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我相信大部分读者看了这个数列以后，仍然不能理解e到底是何物，为了给大家一个直观的印象，我们来看看e的应用。
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假设你把1 000美元的本金存入银行，这家银行特别慷慨，承诺给你100%的年利息，每年复利一次。一年以后，你的账户里已经有2 000美元的资金了——本金为1 000美元，100%的利息是1 000美元，共计2 000美元。
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当你发现银行特别慷慨之后，你决定更进一步，要求更高的利息，但是银行不肯答应。如果利率保持不变的话，能不能提高计息的频率呢？比如，利率仍然是100%，但是改为每半年复利一次——也就是说，6个月之后，银行付给你50%的利息，然后在接下来的6个月之后又付给你50%的利息。显然，对储户来说，这种计息方式比每年复利一次更加有利，因为半年后拿到的利息可以更快地利滚利。但是，半年复利一次到底能比一年复利一次多赚多少钱呢？让我们来算一算。
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半年后，银行支付给你50%的利息，于是你的本金变成原来的1.5倍。再过半年，银行又支付给你50%的利息，此时你账户里的钱和半年前相比又涨了1.5倍。1.5乘以1.5等于2.25，所以一年后，你的1 000美元的本金已经变成了2 250美元。与每年复利一次的情况相比，每半年复利一次可以让你一年多赚250美元。
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如果你不停地和银行谈判，让银行在保持利率不变的前提下把复利的频率加快——每天复利一次，每秒复利一次，每纳秒复利一次，你是不是就发财了呢？我们还是有必要计算一下再下结论。
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为了让计算变得简单一些，我们把1年平均分为100个时段，每个时段复利一次。也就是说，每个时段结束之后，银行给你1%的利息（所以，年利率仍然为100%），你账户里的钱会变成原来的1.01倍；一年后，账户总额变为原来的1.01的100次方倍，即大约2.704 81倍，1 000美元的本金变成了2 704.81美元。
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让我们再总结一下，每年复利一次，年末你共有2 000美元；半年复利一次，年末你共有2 250美元；每年复利100次，年末你共有2 704.81美元。
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现在，我们又要求助于无限和极限的理念了，我们想要问这样一个问题：如果一年复利无穷多次（这种计息方法叫作连续复利），一年以后你的账户里会有多少钱？显然，这个数字应该比2 704.81美元这一金额更多，但是其实多不了太多，经过计算，在连续复利的情况下，你一年后共有2 718.28美元。这个数字正好等于1 000美元乘以e，e是下面这个极限的值：
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这是一个典型的微积分方程式。在前面的几章中，我们已经用微积分计算过圆的面积和太阳对地球的引力了。未发明微积分和发明微积分的不同之处在于，微积分敢于面对无穷大的问题，并且善于利用无穷大的力量。不管是处理极限、导数还是积分，我们都在以各种方式面对无限这个概念。
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在上面的方程式里，我们想象自己把1年分割成很多个微小的时段，这些时段可以进行无穷多次分割，最后得到所谓的“无穷多”个时段，而每个时段的时长则是无穷小（无穷多个“无穷小”的时段，听起来非常矛盾，但是这和我们前几章里所做的，不断增加多边形的边数，让每条边越来越短，最终得到一个无穷多条边的多边形——也就是一个圆——的过程是一模一样的）。随着复利计算的频率越来越高，当然你年末得到的钱也越来越多，但神奇的是，这个增长的速率却越来越小。尽管这样，一年以后你还是得到了一笔可观的利息，毕竟你存在银行的钱被复利了那么多次。
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从这个例子中，我们可以窥见e的一些端倪。当我们计算很多微小事件带来的总体变化的时候，e的身影往往就要出现了。
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假设我们有一堆铀，这种放射性的物质正在逐渐地衰变。在每一个时刻，每一个铀原子都有一个很小的概率会自动分解掉。对于一个给定的原子，它会不会分解掉，到底何时分解掉是完全不可预测的。而且，单个原子分解这一微小的“事件”对整体的影响是无穷小的。尽管这个系统里有这么多神秘的、不确定的、“无限”的因素，但是如果考虑到这数万亿个极为微小的事件的总体效果，我们就会发现，整体的变化趋势是光滑的、可预测的，整个反应堆的放射性是以指数衰减的。
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我们再来考虑世界人口的增长问题，人口大致是以指数增长的。在这个世界上，孩子出生的时间和地点都是随机的，人的死亡时间和地点也是随机的。如果把每一次出生或死亡都定义为一个“事件”的话，单个事件对世界人口的影响是极为微小的。但是，如果考虑到这数万亿个极为微小的事件的总体效果，我们就会发现，世界人口是以指数增长的，而且人口增长的速率是相当容易预测的。
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当随机性和无穷多的选择相结合，e就会应运而生。对此，我想举两个和日常生活有关的例子，当然这两个例子都是经过处理、高度失真的日常生活。
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假设有一部新的电影在本地影院上映了。因为这是一部爱情喜剧，很多情侣都争相赶来观看这部电影，而电影院里根本容纳不了那么多人。这些情侣在售票处前面排起了长队，迫切地想要买票入场。我们的模型是这样的：每对买到票的情侣都会立刻入场，并选择两个相邻的座位坐下。为了简化问题，我们假设选座是完全随机的，不管是前排、后排、中间座位，还是靠近走道的座位，这些情侣都不在乎，只要能找到两个相邻的空座位，他们就心满意足。
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除此之外，我们还假设，所有人一旦选定位置坐下就不再更换，也绝不会为了给他人行方便而更换座位。在这样的规则下，售票处的工作原则是：一旦影院里只剩下单独的座位，就立刻停止售票，不然后进场的观众可要发脾气了。
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在这个模型的初始状况下，剧场里空无一人。这个时候一切正常，每对进场的情侣都可以找到两个相邻的座位。但是，过了一段时间以后，剧场里就只剩下单独的座位，这些孤立的座位再也没有用了，因为所有观众都是一对对的情侣。在现实生活中，看电影的人确实会选择和陌生人隔开坐，留下的空位可以用于放置衣服或其他个人物品，还可以避免和不认识的人共用一个扶手。但在我们的模型里，这些孤立的空位并不是特意留出来的，它们只是随机选座的结果。
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我们的问题是：当剧院里不再有相邻的两个空位时（即所有空位都是孤立的），这时的空座率是多少呢？
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答案是，在一个每排有很多座位的剧场里，最后的空座率是：
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