打字猴:1.70100307e+09
1701003070 让我们再跟e问声好吧。之所以起名为e,是因为它代表指数(exponential)的增长。e简直是高等数学里的西力(伍迪·艾伦执导电影《西力传》的主角),哪里都有它,你能想到的地方以及你想不到的地方,全都有e的身影。e不仅可以用来描述核能源的链式反应和人口爆炸,还能告诉你结婚之前交往多少个女友(男友)最合适。
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1701003072 在谈论这个大家极为关心的婚恋问题之前,请允许我卖一下关子。让我们先来搞清楚,到底什么是e。e的数值是2.718 28……但是这个数字实在说明不了太多问题。我可以告诉你,e是一个无限数列的和,这个数列形式如下。
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1701003077 我相信大部分读者看了这个数列以后,仍然不能理解e到底是何物,为了给大家一个直观的印象,我们来看看e的应用。
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1701003079 假设你把1 000美元的本金存入银行,这家银行特别慷慨,承诺给你100%的年利息,每年复利一次。一年以后,你的账户里已经有2 000美元的资金了——本金为1 000美元,100%的利息是1 000美元,共计2 000美元。
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1701003081 当你发现银行特别慷慨之后,你决定更进一步,要求更高的利息,但是银行不肯答应。如果利率保持不变的话,能不能提高计息的频率呢?比如,利率仍然是100%,但是改为每半年复利一次——也就是说,6个月之后,银行付给你50%的利息,然后在接下来的6个月之后又付给你50%的利息。显然,对储户来说,这种计息方式比每年复利一次更加有利,因为半年后拿到的利息可以更快地利滚利。但是,半年复利一次到底能比一年复利一次多赚多少钱呢?让我们来算一算。
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1701003083 半年后,银行支付给你50%的利息,于是你的本金变成原来的1.5倍。再过半年,银行又支付给你50%的利息,此时你账户里的钱和半年前相比又涨了1.5倍。1.5乘以1.5等于2.25,所以一年后,你的1 000美元的本金已经变成了2 250美元。与每年复利一次的情况相比,每半年复利一次可以让你一年多赚250美元。
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1701003085 如果你不停地和银行谈判,让银行在保持利率不变的前提下把复利的频率加快——每天复利一次,每秒复利一次,每纳秒复利一次,你是不是就发财了呢?我们还是有必要计算一下再下结论。
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1701003087 为了让计算变得简单一些,我们把1年平均分为100个时段,每个时段复利一次。也就是说,每个时段结束之后,银行给你1%的利息(所以,年利率仍然为100%),你账户里的钱会变成原来的1.01倍;一年后,账户总额变为原来的1.01的100次方倍,即大约2.704 81倍,1 000美元的本金变成了2 704.81美元。
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1701003089 让我们再总结一下,每年复利一次,年末你共有2 000美元;半年复利一次,年末你共有2 250美元;每年复利100次,年末你共有2 704.81美元。
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1701003091 现在,我们又要求助于无限和极限的理念了,我们想要问这样一个问题:如果一年复利无穷多次(这种计息方法叫作连续复利),一年以后你的账户里会有多少钱?显然,这个数字应该比2 704.81美元这一金额更多,但是其实多不了太多,经过计算,在连续复利的情况下,你一年后共有2 718.28美元。这个数字正好等于1 000美元乘以e,e是下面这个极限的值:
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1701003096 这是一个典型的微积分方程式。在前面的几章中,我们已经用微积分计算过圆的面积和太阳对地球的引力了。未发明微积分和发明微积分的不同之处在于,微积分敢于面对无穷大的问题,并且善于利用无穷大的力量。不管是处理极限、导数还是积分,我们都在以各种方式面对无限这个概念。
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1701003098 在上面的方程式里,我们想象自己把1年分割成很多个微小的时段,这些时段可以进行无穷多次分割,最后得到所谓的“无穷多”个时段,而每个时段的时长则是无穷小(无穷多个“无穷小”的时段,听起来非常矛盾,但是这和我们前几章里所做的,不断增加多边形的边数,让每条边越来越短,最终得到一个无穷多条边的多边形——也就是一个圆——的过程是一模一样的)。随着复利计算的频率越来越高,当然你年末得到的钱也越来越多,但神奇的是,这个增长的速率却越来越小。尽管这样,一年以后你还是得到了一笔可观的利息,毕竟你存在银行的钱被复利了那么多次。
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1701003100 从这个例子中,我们可以窥见e的一些端倪。当我们计算很多微小事件带来的总体变化的时候,e的身影往往就要出现了。
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1701003102 假设我们有一堆铀,这种放射性的物质正在逐渐地衰变。在每一个时刻,每一个铀原子都有一个很小的概率会自动分解掉。对于一个给定的原子,它会不会分解掉,到底何时分解掉是完全不可预测的。而且,单个原子分解这一微小的“事件”对整体的影响是无穷小的。尽管这个系统里有这么多神秘的、不确定的、“无限”的因素,但是如果考虑到这数万亿个极为微小的事件的总体效果,我们就会发现,整体的变化趋势是光滑的、可预测的,整个反应堆的放射性是以指数衰减的。
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1701003104 我们再来考虑世界人口的增长问题,人口大致是以指数增长的。在这个世界上,孩子出生的时间和地点都是随机的,人的死亡时间和地点也是随机的。如果把每一次出生或死亡都定义为一个“事件”的话,单个事件对世界人口的影响是极为微小的。但是,如果考虑到这数万亿个极为微小的事件的总体效果,我们就会发现,世界人口是以指数增长的,而且人口增长的速率是相当容易预测的。
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1701003106 当随机性和无穷多的选择相结合,e就会应运而生。对此,我想举两个和日常生活有关的例子,当然这两个例子都是经过处理、高度失真的日常生活。
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1701003108 假设有一部新的电影在本地影院上映了。因为这是一部爱情喜剧,很多情侣都争相赶来观看这部电影,而电影院里根本容纳不了那么多人。这些情侣在售票处前面排起了长队,迫切地想要买票入场。我们的模型是这样的:每对买到票的情侣都会立刻入场,并选择两个相邻的座位坐下。为了简化问题,我们假设选座是完全随机的,不管是前排、后排、中间座位,还是靠近走道的座位,这些情侣都不在乎,只要能找到两个相邻的空座位,他们就心满意足。
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1701003110 除此之外,我们还假设,所有人一旦选定位置坐下就不再更换,也绝不会为了给他人行方便而更换座位。在这样的规则下,售票处的工作原则是:一旦影院里只剩下单独的座位,就立刻停止售票,不然后进场的观众可要发脾气了。
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1701003112 在这个模型的初始状况下,剧场里空无一人。这个时候一切正常,每对进场的情侣都可以找到两个相邻的座位。但是,过了一段时间以后,剧场里就只剩下单独的座位,这些孤立的座位再也没有用了,因为所有观众都是一对对的情侣。在现实生活中,看电影的人确实会选择和陌生人隔开坐,留下的空位可以用于放置衣服或其他个人物品,还可以避免和不认识的人共用一个扶手。但在我们的模型里,这些孤立的空位并不是特意留出来的,它们只是随机选座的结果。
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1701003114 我们的问题是:当剧院里不再有相邻的两个空位时(即所有空位都是孤立的),这时的空座率是多少呢?
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1701003116 答案是,在一个每排有很多座位的剧场里,最后的空座率是:
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