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1701003515 谷歌使用的线性方程组和我们上面求解的方程组并无本质区别,只不过我们的方程组只有3个未知数,而谷歌要解决的方程组却有数十亿个未知数。当然,对谷歌来说,解出这数十亿个未知数,意味着会有数十亿美元的利润入账。
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1701003520 X的奇幻之旅:在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001379]
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1701003522 X的奇幻之旅:在现实生活中发现数学思维之美
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1701003527 X的奇幻之旅:在现实生活中发现数学思维之美 第6部分 前沿
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1701003529 X的奇幻之旅:在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001380]
1701003530 第25章 孤独的质数与我们的信用卡支付密码
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1701003532 一首20世纪60年代的美国老歌唱道:“1是最孤独的数字,2也好不到哪里去。”我想,在孤独的问题上,质数应该算是一个需要特殊关注的群体了。
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1701003534 保罗·焦尔达诺写过一本畅销书《质数的孤独》。《质数的孤独》是一部悲伤的爱情小说:马蒂亚和爱丽丝是两个像质数一样孤独的社会边缘人。因为不幸的童年,两人几乎失去了和别人交流沟通的能力。但是在彼此破碎的灵魂里,他们却找到了共鸣和救赎。在这本书里,作者这样写道:
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1701003536 质数只能被1和它自己整除。质数和其他数字一样,排在无穷无尽的自然数里,几乎被相邻的两个数字挤扁,虽然被挤压着,却又藏着一种格格不入的孤独。质数永远是可疑的、不合群的孤独者,所以马蒂亚喜欢质数。有时候,马蒂亚觉得质数一定是误入了某种陷阱,才会被囚禁在自然数的序列里,就像珍珠被囚禁在项链里,永远无法逃离。有时候,马蒂亚又觉得也许质数最大的愿望就是变成一个普通的自然数,和别的数字一样正常,不再那么格格不入,但是,这个愿望永远不可能实现……
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1701003538 大学一年级的时候,马蒂亚学到这样一个知识点:质数中还有一些更为特殊的数字,数学家们称之为“孪生质数”。每一对孪生质数的位置相差不远,几乎可以说是邻居,但它们之间却总会插进一个偶数,硬生生把它们隔开。比如11和13、17和19、41和43都是孪生质数。如果你继续观察下去,就会发现孪生质数变得越来越少。越来越多孤立的质数,存在于这个寂静的谜一样的空间里。越观察,你越会产生一个绝望的预感:之前发现的那些孪生质数也许只是偶然的巧合,而孤独、彻底的孤独,才是一个质数真正的宿命。但是,就在你准备放弃,觉得再也没有必要继续观察下去的时候,你又会碰到一对孪生质数,它们紧紧地依偎在一起,对抗着周围的冰冷和绝望。数学家们相信,不管你观察到哪里,前方一定还有更多的孪生质数,虽然没有人知道,下一对孪生质数会出现在哪里,但我们总会找到它们。
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1701003540 马蒂亚觉得,他和爱丽丝就是一对孪生质数。他们都很孤独,他们同样迷失在这个冰冷的世界里,他们是彼此唯一的安慰,但他们之间仍隔着不可逾越的障碍,他们永远无法真正地紧挨着彼此。
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1701003542 在这里,我觉得有必要挖掘一下这段悲伤的文字里提到的那些美丽的思想:特别是质数的孤独和孪生质数的宿命。这些问题是数论里的核心问题。数论的研究对象是整数和整数的性质。数论一直被认为是“最纯粹”的数学领域。
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1701003544 在我们走进数论这个令人呼吸困难的领域之前,先让我们讨论一个问题。很多实用主义者都会问:数论到底有什么用处?数论的实际应用主要表现在加密算法中。数论的性质决定了它是密码学的基础。每天,加密算法保护着我们的个人信用卡的网上支付功能,也保护着每个国家的军事机密。这种算法依赖于一个特殊的性质:一个巨大数字的质因数是非常难以求得的。
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1701003546 但是,数学家们迷恋质数并不是出于这个原因。对于数学家们来说,质数的魅力在于它们具有“基本的重要性”。质数之于算数,就好比原子之于物理。原子(atom)一词的希腊语词根是atomic,意思是“不能被切开、不可分割”。在物理学知识中,所有的物质都是由原子构成的;在数学知识中,所有的数字都可以被分解成质数。比如,60=2×2×3×5。我们可以说,60是一个合数,2、3、5是它的质因数。
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1701003548 那么,1这个数字怎么办?1是质数吗?它不是。当你理解了1为什么不是质数,你就会真正理解那首老歌的真谛:1真的是世界上最孤独的数字,它比质数还要孤独。
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1701003550 从道理上来说,我们不应该把数字1从质数的队伍中孤立出来。既然数字1只能被1和它本身整除,它不就应该是一个质数吗?实际上,数字1确实曾经被当成质数,而且数字1当质数的时间也不短。但是,现代数学却决定把数字1从质数的队伍中赶出去,这一举动只是为了方便起见。如果数字1是质数的话,有一个定理就无法成立,但是人类需要这个定理,我们一定要让这个定理成立。换句话说,为了达到自己的目的,为了得到我们想要的定理,人类操纵了质数的定义,无情地把数字1赶了出去。
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1701003552 什么定理这么重要?这个定理就是:任何数都能以唯一的方式被分解成几个质数的乘积。如果我们承认1是质数,那么“唯一的”这三个字就不再成立。比如说,6可以分解成2×3,也可以分解成1×2×3,还可以分解成1×1×2×3,诸如此类。只要数字1是质数,质因数分解的方式就不唯一。这听起来很可笑,但是如果数字1是质数的话,确实很不方便。
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1701003554 这个故事揭示出数学的真正面目。有时候我们会幼稚地认为,人类是先发明出定义,然后把这些定义刻在石头上,再根据这些板上钉钉的定义来推导定理。其实,数学的真正面目并非如此。这种方法太过消极。人类才是数学的“主人”,定义是依据人类的意愿拟定的。尤其是当一个小小的改变就能让定理变得更严密的时候,我们才不会在乎数字1的感受!
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1701003556 好了,现在数字1已经被我们从船上扔下去了,让我来看看还在船上的诸位吧。在人类对质数的了解中,最重要的一点是什么呢?那就是质数是如此神秘、费解和古怪。没有任何人发现过质数的通项公式。与物理中的原子不同,质数不服从任何简单的规律,我们发现了“元素周期表”,却研究不出一张“质数周期表”。
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1701003558 前10个质数就足够给我们一个“下马威”了:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。首先,第一个数字2已经很神奇了:它很边缘,是所有质数中唯一的偶数。难怪歌里会唱:“1是最孤独的数字,2也好不到哪里去。”
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1701003560 除了数字2之外,其他质数都是奇数,但它们也很莫名其妙。看看每两个质数之间的距离:有时是2(比如5和7),有时是4(比如13和17),有时是6(比如23和29)。
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1701003562 为了理解质数到底有多神奇,我们看看基本的奇数:1、3、5、7、9、11、13……相邻奇数间的距离永远是2,比鼓点还要准。所以,奇数可以用一个很简单的通项公式来表达,第n个奇数是2n-1。而质数呢?它们无组织、无纪律,毫无规律可言。
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