1701003514
1701003515
谷歌使用的线性方程组和我们上面求解的方程组并无本质区别，只不过我们的方程组只有3个未知数，而谷歌要解决的方程组却有数十亿个未知数。当然，对谷歌来说，解出这数十亿个未知数，意味着会有数十亿美元的利润入账。
1701003516
1701003517
1701003518
1701003519
1701003520
X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001379]
1701003521
1701003522
X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美
1701003523
1701003524
1701003525
1701003526
1701003527
X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第6部分 前沿
1701003528
1701003529
X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001380]
1701003530
第25章 孤独的质数与我们的信用卡支付密码
1701003531
1701003532
一首20世纪60年代的美国老歌唱道：“1是最孤独的数字，2也好不到哪里去。”我想，在孤独的问题上，质数应该算是一个需要特殊关注的群体了。
1701003533
1701003534
保罗·焦尔达诺写过一本畅销书《质数的孤独》。《质数的孤独》是一部悲伤的爱情小说：马蒂亚和爱丽丝是两个像质数一样孤独的社会边缘人。因为不幸的童年，两人几乎失去了和别人交流沟通的能力。但是在彼此破碎的灵魂里，他们却找到了共鸣和救赎。在这本书里，作者这样写道：
1701003535
1701003536
质数只能被1和它自己整除。质数和其他数字一样，排在无穷无尽的自然数里，几乎被相邻的两个数字挤扁，虽然被挤压着，却又藏着一种格格不入的孤独。质数永远是可疑的、不合群的孤独者，所以马蒂亚喜欢质数。有时候，马蒂亚觉得质数一定是误入了某种陷阱，才会被囚禁在自然数的序列里，就像珍珠被囚禁在项链里，永远无法逃离。有时候，马蒂亚又觉得也许质数最大的愿望就是变成一个普通的自然数，和别的数字一样正常，不再那么格格不入，但是，这个愿望永远不可能实现……
1701003537
1701003538
大学一年级的时候，马蒂亚学到这样一个知识点：质数中还有一些更为特殊的数字，数学家们称之为“孪生质数”。每一对孪生质数的位置相差不远，几乎可以说是邻居，但它们之间却总会插进一个偶数，硬生生把它们隔开。比如11和13、17和19、41和43都是孪生质数。如果你继续观察下去，就会发现孪生质数变得越来越少。越来越多孤立的质数，存在于这个寂静的谜一样的空间里。越观察，你越会产生一个绝望的预感：之前发现的那些孪生质数也许只是偶然的巧合，而孤独、彻底的孤独，才是一个质数真正的宿命。但是，就在你准备放弃，觉得再也没有必要继续观察下去的时候，你又会碰到一对孪生质数，它们紧紧地依偎在一起，对抗着周围的冰冷和绝望。数学家们相信，不管你观察到哪里，前方一定还有更多的孪生质数，虽然没有人知道，下一对孪生质数会出现在哪里，但我们总会找到它们。
1701003539
1701003540
马蒂亚觉得，他和爱丽丝就是一对孪生质数。他们都很孤独，他们同样迷失在这个冰冷的世界里，他们是彼此唯一的安慰，但他们之间仍隔着不可逾越的障碍，他们永远无法真正地紧挨着彼此。
1701003541
1701003542
在这里，我觉得有必要挖掘一下这段悲伤的文字里提到的那些美丽的思想：特别是质数的孤独和孪生质数的宿命。这些问题是数论里的核心问题。数论的研究对象是整数和整数的性质。数论一直被认为是“最纯粹”的数学领域。
1701003543
1701003544
在我们走进数论这个令人呼吸困难的领域之前，先让我们讨论一个问题。很多实用主义者都会问：数论到底有什么用处？数论的实际应用主要表现在加密算法中。数论的性质决定了它是密码学的基础。每天，加密算法保护着我们的个人信用卡的网上支付功能，也保护着每个国家的军事机密。这种算法依赖于一个特殊的性质：一个巨大数字的质因数是非常难以求得的。
1701003545
1701003546
但是，数学家们迷恋质数并不是出于这个原因。对于数学家们来说，质数的魅力在于它们具有“基本的重要性”。质数之于算数，就好比原子之于物理。原子（atom）一词的希腊语词根是atomic，意思是“不能被切开、不可分割”。在物理学知识中，所有的物质都是由原子构成的；在数学知识中，所有的数字都可以被分解成质数。比如，60=2×2×3×5。我们可以说，60是一个合数，2、3、5是它的质因数。
1701003547
1701003548
那么，1这个数字怎么办？1是质数吗？它不是。当你理解了1为什么不是质数，你就会真正理解那首老歌的真谛：1真的是世界上最孤独的数字，它比质数还要孤独。
1701003549
1701003550
从道理上来说，我们不应该把数字1从质数的队伍中孤立出来。既然数字1只能被1和它本身整除，它不就应该是一个质数吗？实际上，数字1确实曾经被当成质数，而且数字1当质数的时间也不短。但是，现代数学却决定把数字1从质数的队伍中赶出去，这一举动只是为了方便起见。如果数字1是质数的话，有一个定理就无法成立，但是人类需要这个定理，我们一定要让这个定理成立。换句话说，为了达到自己的目的，为了得到我们想要的定理，人类操纵了质数的定义，无情地把数字1赶了出去。
1701003551
1701003552
什么定理这么重要？这个定理就是：任何数都能以唯一的方式被分解成几个质数的乘积。如果我们承认1是质数，那么“唯一的”这三个字就不再成立。比如说，6可以分解成2×3，也可以分解成1×2×3，还可以分解成1×1×2×3，诸如此类。只要数字1是质数，质因数分解的方式就不唯一。这听起来很可笑，但是如果数字1是质数的话，确实很不方便。
1701003553
1701003554
这个故事揭示出数学的真正面目。有时候我们会幼稚地认为，人类是先发明出定义，然后把这些定义刻在石头上，再根据这些板上钉钉的定义来推导定理。其实，数学的真正面目并非如此。这种方法太过消极。人类才是数学的“主人”，定义是依据人类的意愿拟定的。尤其是当一个小小的改变就能让定理变得更严密的时候，我们才不会在乎数字1的感受！
1701003555
1701003556
好了，现在数字1已经被我们从船上扔下去了，让我来看看还在船上的诸位吧。在人类对质数的了解中，最重要的一点是什么呢？那就是质数是如此神秘、费解和古怪。没有任何人发现过质数的通项公式。与物理中的原子不同，质数不服从任何简单的规律，我们发现了“元素周期表”，却研究不出一张“质数周期表”。
1701003557
1701003558
前10个质数就足够给我们一个“下马威”了：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。首先，第一个数字2已经很神奇了：它很边缘，是所有质数中唯一的偶数。难怪歌里会唱：“1是最孤独的数字，2也好不到哪里去。”
1701003559
1701003560
除了数字2之外，其他质数都是奇数，但它们也很莫名其妙。看看每两个质数之间的距离：有时是2（比如5和7），有时是4（比如13和17），有时是6（比如23和29）。
1701003561
1701003562
为了理解质数到底有多神奇，我们看看基本的奇数：1、3、5、7、9、11、13……相邻奇数间的距离永远是2，比鼓点还要准。所以，奇数可以用一个很简单的通项公式来表达，第n个奇数是2n－1。而质数呢？它们无组织、无纪律，毫无规律可言。
1701003563