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由于相邻质数间的距离很不规律这一现象，数学家们决定不再冥思苦想单个质数出现的规律，而是用统计学的方法，把质数当成一个整体来看。比如，我们来看一看质数在整数中究竟是如何分布的：小于等于10的质数有多少个？小于等于100的质数有多少个？小于等于任意整数N的质数又有多少个？要回答这些问题，需要用到一个统计学上的概念：累积分布。
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想象我们沿着数轴行走，一边走一边数质数，就像搞人口普查的时候挨家挨户地走访一样。质数站在数轴上，我们从1开始，一直向右走，手拿计数器，看见一个质数就按一下计数器。这个计数器的读数变化如下图所示。
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横轴是你在数轴上的位置，纵轴是此时你手中计数器的读数，也就是小于等于x的质数的个数，当x小于2，y的值是0，因为暂时还没有找到任何质数。当我们走到数字2，就找到了一个质数。所以，计数器的读数为数字1，上图的函数出现一个跳跃。然后，函数值又保持不变，直到我们走到数字3的位置，此时函数值又上移1格。这个函数的特征就是：持平、突增、持平、突增、持平、突增……最后，我们看到的是一个奇怪的楼梯，台阶忽高忽低。这个函数被数学家们称为“素数计数函数”。
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请把这个奇怪的函数和下图的“奇数计数函数”对比一下。
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奇数所形成的楼梯是非常正常的，每个台阶都一样高，顺着一条斜率为1/2的直线一路攀升。这是因为相邻奇数间的距离永远是2。
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不得不说，质数实在是太过奇特。既然质数如此奇特，它们到底还有没有什么规律可循呢？奇怪的是，质数的分布还是有一定规律的。要找到这个规律，我们应该暂时忘记高高低低的台阶给我们带来的不快，专心看看这个楼梯的“走势”。如果我们把素数计数函数的图像缩小，我们会慢慢地看到一条比较光滑的曲线。下图是小于等于100的质数的计数函数。
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与之前的图相比，台阶的高低不平看起来没有那么明显了，如果我们再看看小于等于10亿的质数的计数函数，这条曲线还会变得更加平滑一些。
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上图的函数图像看起来像一条直线，但其实它并不是一条直线。随着这个函数的向上爬升，爬升的速度在以微小的速率减小。这说明，随着数字越来越大，质数变得越来越稀疏。也许，所谓质数的孤独，就是越往高处走越孤单、越疏离，俗话说得好：高处不胜寒。
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随着数字越来越大，质数变得越来越稀疏。这个性质从图像上来看并不明显，但是换一个角度就能看得很清楚。在前30个正整数中，我们可以找到10个质数，也就是每3个正整数里就存在一个质数，质数的比例可达33%。而在前100个正整数中，一共有25个质数，每4个正整数里就有一个是质数，质数的比例下降到了25%。那么，前1亿个正整数里质数占多大比例呢？答案是： 5%。
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这条看似笔直的曲线里，有着质数苍凉的命运：它们是越来越少的“濒危”物种。当然，质数不会在某一点后完全消失；沿着数轴一直向右，总还是会找到更大的质数——这一点欧几里得早已告诉了我们。质数是无穷的，但它们却越变越少，越变越稀疏。我们沿着数轴向右走得越远，就越难看到质数的身影。
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通过拟合质数的计数函数，数论学家把质数的“孤独度”度量了出来。质数的“孤独度”由相邻两个质数之间的距离来表示，如果N是一个非常大的数，那么N附近两个相邻质数间的平均距离是lnN，即N的自然对数。（在高中数学课上，我们学过常用对数。自然对数和常用对数的性质完全一样，只不过常用对数的底数为10，而自然对数的底数为e。之所以称它为“自然对数”，是因为它在高等数学中非常常见，它总是很“自然”地出现在各个地方，这要感谢高等数学中的e了。关于e的更多知识，请参见本书的第19章。）
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相邻质数间的平均距离是lnN。在N比较小的时候，这个公式很不准确，但随着N的增大，这个公式会变得越来越精确。当N趋于无穷大的时候，这个公式的误差百分比就会趋近于零。为了有一个更直观的认识，我们代入一些具体的数字。当N=1 000的时候，小于等于1 000的质数有168个，所以1 000以下相邻质数的平均距离是1 000/68，大约为5.9。而我们的公式lnN给出的预测值则是ln（1 000）≈6.9。也就是说，当N取1 000的时候，这个公式的误差很大，公式的预测值比实际值高17%。但当N非常大的时候，例如我们取N= 1 000 000 000，此时质数间平均距离的实际值和公式给出的预测值分别是19.7和20.7，预测值只比实际值高5%。
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当N趋于无穷大，lnN这个公式就可以准确地预测相邻质数间的平均距离，这个结果叫作素数定理。1702年，德国著名数学家卡尔·弗里德里希·高斯首次发现了这个定理（但是，当时并未以论文形式发表这个结论），那时的高斯只有15岁。（看，在没有游戏机的年代，一个孩子的学术研究能力有多强！）
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而本章中提到的另外两个少年——马蒂亚和爱丽丝，则以另一种方式告诉我们质数的美。我希望你可以感受到孪生质数的神奇之处。随着数字的增大，孪生质数虽然越来越稀少，却仍能坚持“存在于这个寂静的谜一样的空间里”，这种凄美简直要让我潸然泪下。你知道这有多不容易吗，一切都对它们很不利。根据素数定理，大数N附近相邻质数间的平均距离在lnN左右（N的数值很大的时候，lnN远大于2），在这样的条件下，还能有只隔一个数的孪生质数存在，这实在是一件非常神奇的事情。
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是的，总有一些感天动地的爱情可以战胜命运。在数轴延展至极远的位置，计算机仍然帮我们找到了真爱无敌的孪生质数。目前已知的最大一对孪生质数，它们各有100 355位。
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孪生质数猜想告诉我们，这样的数字永远不会消失。
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但是，是否能在它们附近找到另一对孪生质数？我们只能看运气了。
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001381]