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从道理上来说，我们不应该把数字1从质数的队伍中孤立出来。既然数字1只能被1和它本身整除，它不就应该是一个质数吗？实际上，数字1确实曾经被当成质数，而且数字1当质数的时间也不短。但是，现代数学却决定把数字1从质数的队伍中赶出去，这一举动只是为了方便起见。如果数字1是质数的话，有一个定理就无法成立，但是人类需要这个定理，我们一定要让这个定理成立。换句话说，为了达到自己的目的，为了得到我们想要的定理，人类操纵了质数的定义，无情地把数字1赶了出去。
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什么定理这么重要？这个定理就是：任何数都能以唯一的方式被分解成几个质数的乘积。如果我们承认1是质数，那么“唯一的”这三个字就不再成立。比如说，6可以分解成2×3，也可以分解成1×2×3，还可以分解成1×1×2×3，诸如此类。只要数字1是质数，质因数分解的方式就不唯一。这听起来很可笑，但是如果数字1是质数的话，确实很不方便。
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这个故事揭示出数学的真正面目。有时候我们会幼稚地认为，人类是先发明出定义，然后把这些定义刻在石头上，再根据这些板上钉钉的定义来推导定理。其实，数学的真正面目并非如此。这种方法太过消极。人类才是数学的“主人”，定义是依据人类的意愿拟定的。尤其是当一个小小的改变就能让定理变得更严密的时候，我们才不会在乎数字1的感受！
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好了，现在数字1已经被我们从船上扔下去了，让我来看看还在船上的诸位吧。在人类对质数的了解中，最重要的一点是什么呢？那就是质数是如此神秘、费解和古怪。没有任何人发现过质数的通项公式。与物理中的原子不同，质数不服从任何简单的规律，我们发现了“元素周期表”，却研究不出一张“质数周期表”。
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前10个质数就足够给我们一个“下马威”了：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。首先，第一个数字2已经很神奇了：它很边缘，是所有质数中唯一的偶数。难怪歌里会唱：“1是最孤独的数字，2也好不到哪里去。”
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除了数字2之外，其他质数都是奇数，但它们也很莫名其妙。看看每两个质数之间的距离：有时是2（比如5和7），有时是4（比如13和17），有时是6（比如23和29）。
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为了理解质数到底有多神奇，我们看看基本的奇数：1、3、5、7、9、11、13……相邻奇数间的距离永远是2，比鼓点还要准。所以，奇数可以用一个很简单的通项公式来表达，第n个奇数是2n－1。而质数呢？它们无组织、无纪律，毫无规律可言。
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由于相邻质数间的距离很不规律这一现象，数学家们决定不再冥思苦想单个质数出现的规律，而是用统计学的方法，把质数当成一个整体来看。比如，我们来看一看质数在整数中究竟是如何分布的：小于等于10的质数有多少个？小于等于100的质数有多少个？小于等于任意整数N的质数又有多少个？要回答这些问题，需要用到一个统计学上的概念：累积分布。
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想象我们沿着数轴行走，一边走一边数质数，就像搞人口普查的时候挨家挨户地走访一样。质数站在数轴上，我们从1开始，一直向右走，手拿计数器，看见一个质数就按一下计数器。这个计数器的读数变化如下图所示。
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横轴是你在数轴上的位置，纵轴是此时你手中计数器的读数，也就是小于等于x的质数的个数，当x小于2，y的值是0，因为暂时还没有找到任何质数。当我们走到数字2，就找到了一个质数。所以，计数器的读数为数字1，上图的函数出现一个跳跃。然后，函数值又保持不变，直到我们走到数字3的位置，此时函数值又上移1格。这个函数的特征就是：持平、突增、持平、突增、持平、突增……最后，我们看到的是一个奇怪的楼梯，台阶忽高忽低。这个函数被数学家们称为“素数计数函数”。
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请把这个奇怪的函数和下图的“奇数计数函数”对比一下。
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奇数所形成的楼梯是非常正常的，每个台阶都一样高，顺着一条斜率为1/2的直线一路攀升。这是因为相邻奇数间的距离永远是2。
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不得不说，质数实在是太过奇特。既然质数如此奇特，它们到底还有没有什么规律可循呢？奇怪的是，质数的分布还是有一定规律的。要找到这个规律，我们应该暂时忘记高高低低的台阶给我们带来的不快，专心看看这个楼梯的“走势”。如果我们把素数计数函数的图像缩小，我们会慢慢地看到一条比较光滑的曲线。下图是小于等于100的质数的计数函数。
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与之前的图相比，台阶的高低不平看起来没有那么明显了，如果我们再看看小于等于10亿的质数的计数函数，这条曲线还会变得更加平滑一些。
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上图的函数图像看起来像一条直线，但其实它并不是一条直线。随着这个函数的向上爬升，爬升的速度在以微小的速率减小。这说明，随着数字越来越大，质数变得越来越稀疏。也许，所谓质数的孤独，就是越往高处走越孤单、越疏离，俗话说得好：高处不胜寒。
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随着数字越来越大，质数变得越来越稀疏。这个性质从图像上来看并不明显，但是换一个角度就能看得很清楚。在前30个正整数中，我们可以找到10个质数，也就是每3个正整数里就存在一个质数，质数的比例可达33%。而在前100个正整数中，一共有25个质数，每4个正整数里就有一个是质数，质数的比例下降到了25%。那么，前1亿个正整数里质数占多大比例呢？答案是： 5%。
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这条看似笔直的曲线里，有着质数苍凉的命运：它们是越来越少的“濒危”物种。当然，质数不会在某一点后完全消失；沿着数轴一直向右，总还是会找到更大的质数——这一点欧几里得早已告诉了我们。质数是无穷的，但它们却越变越少，越变越稀疏。我们沿着数轴向右走得越远，就越难看到质数的身影。
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通过拟合质数的计数函数，数论学家把质数的“孤独度”度量了出来。质数的“孤独度”由相邻两个质数之间的距离来表示，如果N是一个非常大的数，那么N附近两个相邻质数间的平均距离是lnN，即N的自然对数。（在高中数学课上，我们学过常用对数。自然对数和常用对数的性质完全一样，只不过常用对数的底数为10，而自然对数的底数为e。之所以称它为“自然对数”，是因为它在高等数学中非常常见，它总是很“自然”地出现在各个地方，这要感谢高等数学中的e了。关于e的更多知识，请参见本书的第19章。）
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相邻质数间的平均距离是lnN。在N比较小的时候，这个公式很不准确，但随着N的增大，这个公式会变得越来越精确。当N趋于无穷大的时候，这个公式的误差百分比就会趋近于零。为了有一个更直观的认识，我们代入一些具体的数字。当N=1 000的时候，小于等于1 000的质数有168个，所以1 000以下相邻质数的平均距离是1 000/68，大约为5.9。而我们的公式lnN给出的预测值则是ln（1 000）≈6.9。也就是说，当N取1 000的时候，这个公式的误差很大，公式的预测值比实际值高17%。但当N非常大的时候，例如我们取N= 1 000 000 000，此时质数间平均距离的实际值和公式给出的预测值分别是19.7和20.7，预测值只比实际值高5%。
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