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从道理上来说,我们不应该把数字1从质数的队伍中孤立出来。既然数字1只能被1和它本身整除,它不就应该是一个质数吗?实际上,数字1确实曾经被当成质数,而且数字1当质数的时间也不短。但是,现代数学却决定把数字1从质数的队伍中赶出去,这一举动只是为了方便起见。如果数字1是质数的话,有一个定理就无法成立,但是人类需要这个定理,我们一定要让这个定理成立。换句话说,为了达到自己的目的,为了得到我们想要的定理,人类操纵了质数的定义,无情地把数字1赶了出去。
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什么定理这么重要?这个定理就是:任何数都能以唯一的方式被分解成几个质数的乘积。如果我们承认1是质数,那么“唯一的”这三个字就不再成立。比如说,6可以分解成2×3,也可以分解成1×2×3,还可以分解成1×1×2×3,诸如此类。只要数字1是质数,质因数分解的方式就不唯一。这听起来很可笑,但是如果数字1是质数的话,确实很不方便。
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这个故事揭示出数学的真正面目。有时候我们会幼稚地认为,人类是先发明出定义,然后把这些定义刻在石头上,再根据这些板上钉钉的定义来推导定理。其实,数学的真正面目并非如此。这种方法太过消极。人类才是数学的“主人”,定义是依据人类的意愿拟定的。尤其是当一个小小的改变就能让定理变得更严密的时候,我们才不会在乎数字1的感受!
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好了,现在数字1已经被我们从船上扔下去了,让我来看看还在船上的诸位吧。在人类对质数的了解中,最重要的一点是什么呢?那就是质数是如此神秘、费解和古怪。没有任何人发现过质数的通项公式。与物理中的原子不同,质数不服从任何简单的规律,我们发现了“元素周期表”,却研究不出一张“质数周期表”。
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前10个质数就足够给我们一个“下马威”了:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。首先,第一个数字2已经很神奇了:它很边缘,是所有质数中唯一的偶数。难怪歌里会唱:“1是最孤独的数字,2也好不到哪里去。”
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除了数字2之外,其他质数都是奇数,但它们也很莫名其妙。看看每两个质数之间的距离:有时是2(比如5和7),有时是4(比如13和17),有时是6(比如23和29)。
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为了理解质数到底有多神奇,我们看看基本的奇数:1、3、5、7、9、11、13……相邻奇数间的距离永远是2,比鼓点还要准。所以,奇数可以用一个很简单的通项公式来表达,第n个奇数是2n-1。而质数呢?它们无组织、无纪律,毫无规律可言。
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由于相邻质数间的距离很不规律这一现象,数学家们决定不再冥思苦想单个质数出现的规律,而是用统计学的方法,把质数当成一个整体来看。比如,我们来看一看质数在整数中究竟是如何分布的:小于等于10的质数有多少个?小于等于100的质数有多少个?小于等于任意整数N的质数又有多少个?要回答这些问题,需要用到一个统计学上的概念:累积分布。
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想象我们沿着数轴行走,一边走一边数质数,就像搞人口普查的时候挨家挨户地走访一样。质数站在数轴上,我们从1开始,一直向右走,手拿计数器,看见一个质数就按一下计数器。这个计数器的读数变化如下图所示。
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横轴是你在数轴上的位置,纵轴是此时你手中计数器的读数,也就是小于等于x的质数的个数,当x小于2,y的值是0,因为暂时还没有找到任何质数。当我们走到数字2,就找到了一个质数。所以,计数器的读数为数字1,上图的函数出现一个跳跃。然后,函数值又保持不变,直到我们走到数字3的位置,此时函数值又上移1格。这个函数的特征就是:持平、突增、持平、突增、持平、突增……最后,我们看到的是一个奇怪的楼梯,台阶忽高忽低。这个函数被数学家们称为“素数计数函数”。
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请把这个奇怪的函数和下图的“奇数计数函数”对比一下。
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奇数所形成的楼梯是非常正常的,每个台阶都一样高,顺着一条斜率为1/2的直线一路攀升。这是因为相邻奇数间的距离永远是2。
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不得不说,质数实在是太过奇特。既然质数如此奇特,它们到底还有没有什么规律可循呢?奇怪的是,质数的分布还是有一定规律的。要找到这个规律,我们应该暂时忘记高高低低的台阶给我们带来的不快,专心看看这个楼梯的“走势”。如果我们把素数计数函数的图像缩小,我们会慢慢地看到一条比较光滑的曲线。下图是小于等于100的质数的计数函数。
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与之前的图相比,台阶的高低不平看起来没有那么明显了,如果我们再看看小于等于10亿的质数的计数函数,这条曲线还会变得更加平滑一些。
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上图的函数图像看起来像一条直线,但其实它并不是一条直线。随着这个函数的向上爬升,爬升的速度在以微小的速率减小。这说明,随着数字越来越大,质数变得越来越稀疏。也许,所谓质数的孤独,就是越往高处走越孤单、越疏离,俗话说得好:高处不胜寒。
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随着数字越来越大,质数变得越来越稀疏。这个性质从图像上来看并不明显,但是换一个角度就能看得很清楚。在前30个正整数中,我们可以找到10个质数,也就是每3个正整数里就存在一个质数,质数的比例可达33%。而在前100个正整数中,一共有25个质数,每4个正整数里就有一个是质数,质数的比例下降到了25%。那么,前1亿个正整数里质数占多大比例呢?答案是: 5%。
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这条看似笔直的曲线里,有着质数苍凉的命运:它们是越来越少的“濒危”物种。当然,质数不会在某一点后完全消失;沿着数轴一直向右,总还是会找到更大的质数——这一点欧几里得早已告诉了我们。质数是无穷的,但它们却越变越少,越变越稀疏。我们沿着数轴向右走得越远,就越难看到质数的身影。
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通过拟合质数的计数函数,数论学家把质数的“孤独度”度量了出来。质数的“孤独度”由相邻两个质数之间的距离来表示,如果N是一个非常大的数,那么N附近两个相邻质数间的平均距离是lnN,即N的自然对数。(在高中数学课上,我们学过常用对数。自然对数和常用对数的性质完全一样,只不过常用对数的底数为10,而自然对数的底数为e。之所以称它为“自然对数”,是因为它在高等数学中非常常见,它总是很“自然”地出现在各个地方,这要感谢高等数学中的e了。关于e的更多知识,请参见本书的第19章。)
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相邻质数间的平均距离是lnN。在N比较小的时候,这个公式很不准确,但随着N的增大,这个公式会变得越来越精确。当N趋于无穷大的时候,这个公式的误差百分比就会趋近于零。为了有一个更直观的认识,我们代入一些具体的数字。当N=1 000的时候,小于等于1 000的质数有168个,所以1 000以下相邻质数的平均距离是1 000/68,大约为5.9。而我们的公式lnN给出的预测值则是ln(1 000)≈6.9。也就是说,当N取1 000的时候,这个公式的误差很大,公式的预测值比实际值高17%。但当N非常大的时候,例如我们取N= 1 000 000 000,此时质数间平均距离的实际值和公式给出的预测值分别是19.7和20.7,预测值只比实际值高5%。
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