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当N趋于无穷大,lnN这个公式就可以准确地预测相邻质数间的平均距离,这个结果叫作素数定理。1702年,德国著名数学家卡尔·弗里德里希·高斯首次发现了这个定理(但是,当时并未以论文形式发表这个结论),那时的高斯只有15岁。(看,在没有游戏机的年代,一个孩子的学术研究能力有多强!)
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而本章中提到的另外两个少年——马蒂亚和爱丽丝,则以另一种方式告诉我们质数的美。我希望你可以感受到孪生质数的神奇之处。随着数字的增大,孪生质数虽然越来越稀少,却仍能坚持“存在于这个寂静的谜一样的空间里”,这种凄美简直要让我潸然泪下。你知道这有多不容易吗,一切都对它们很不利。根据素数定理,大数N附近相邻质数间的平均距离在lnN左右(N的数值很大的时候,lnN远大于2),在这样的条件下,还能有只隔一个数的孪生质数存在,这实在是一件非常神奇的事情。
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是的,总有一些感天动地的爱情可以战胜命运。在数轴延展至极远的位置,计算机仍然帮我们找到了真爱无敌的孪生质数。目前已知的最大一对孪生质数,它们各有100 355位。
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孪生质数猜想告诉我们,这样的数字永远不会消失。
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但是,是否能在它们附近找到另一对孪生质数?我们只能看运气了。
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X的奇幻之旅:在现实生活中发现数学思维之美 第26章 群论:如何翻转才能使床垫磨损率最小?
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我和妻子的睡眠习惯完全不一样,我们的床垫是这一事实的最佳见证者。我的妻子睡觉时喜欢在身边放好几个枕头,而且她整夜不停地翻身,所以她躺着那部分床垫几乎没有任何凹痕。而我则像木乃伊一样永远仰卧在床垫的同一个位置,结果给我身下的床垫留下了一个巨大而忧伤的“印记”。
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床垫制造商建议顾客定期翻转床垫,以使床垫的磨损更加均匀。我想床垫制造商一定是知道有我这样的人存在,才会提出这么中肯的建议。但是,到底如何翻转床垫才是最佳的?怎么翻转才能让床垫的磨损最均匀呢?
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布莱恩·海斯在《卧室中的群论》一书中对这个问题做了详细的探讨。“卧室”和“群”这两个词汇放在一起有点儿微妙的意味,不过这里所讨论的“群”是指一些数学行为的集合,即你可以翻转或旋转床垫(翻动或旋转后的床垫必须仍能严丝合缝地嵌在床架里)的所有方式的集合。
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通过研究床垫的翻转问题,我希望让大家对群论有一个比较全面和基本的了解。群论是数学中最百变的分支之一。从方块舞的编舞,到粒子物理的基本原理,再到尔汗布拉宫的马赛克装饰,这些东西的背后都有群论的身影。
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这些例子都说明,群论是科学和艺术之间的一座桥梁。群论讨论了科学和艺术的一个共同的主题:对于“对称”的永恒追求与热爱。但是,因为群论包罗万象,它必然是高度抽象的。群论提炼出了“对称”最初和最深的本质。
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一般来说,我们把对称看作形状的一种性质。而群论的重点却在于:对于一个形状,我们可以做些什么?具体来说,就是在保持某些因素不变的前提下,改变一个形状的方式到底有多少种?说得更准确些,群论讨论的是这样一个问题:在一定的限制条件下,有多少种方式可以转化一个形状,但这个形状的本质却保持不变?这些转化的方式,就叫作这个形状的“对称性”。这些转化方式的集合形成一个“群”,“群”的性质定义了这个形状的最本质特征。
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对于一个床垫来说,我们可以通过一些转化方式,改变床垫在空间中的方向(这就是上一段中所说的“转化一个形状的方式”),这些转化必须保持床垫的形状不变(这就是上一段中所说的“一定的限制条件”)。这些转化结束后,床垫必须仍能严丝合缝地嵌在床架里(这就是上一段中所说的“在保持某些因素不变的前提下”)。定好这些规则以后,我们来看看,哪几种“转化”床垫的方式属于这个“群”呢?事实上,只有4种方式是符合上述条件的。
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第一种方式是什么也不做,大部分懒惰的床垫用户都选择这种方式。显然,这种“转化”符合上述所有条件,虽然它对延长床垫的寿命毫无帮助,但我们仍然必须把它视作这个“群”的一个元素。这种什么都不做的转化方式就像加法中的0或乘法中的1一样重要,数学家们称它为“单位元素”,符号为I。
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接下来,我们来讨论另外3种富有创造性的翻转床垫的方式。为了清楚地展示翻转的方法,我们把床垫的4个角编上号,分别为1、2、3、4,如下图所示。
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第一种翻转床垫的方法在本章一开始的时候就给出了。在本章的第一幅插图里,那位穿条纹睡衣的英俊绅士正在翻转床垫——沿床垫的长轴翻转180度。这种转化方式我们记作H,即“水平翻转”。
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第二种更为狂野的翻转床垫的方法是“竖直翻转”,我们将这种方式记作V。竖直翻转要把床垫先立起来,让它几乎碰到天花板,然后让床垫头尾、正反皆翻转。“竖直翻转”的净效果(除了一声巨大的轰鸣以外)是床垫沿着短轴翻转了180度,如下图所示。
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