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1701003653 第三种翻转床垫的方法是保持床垫正面朝上,把它旋转半圈,让床头变成床尾,床尾变成床头。这种方式我们记为R,意思是“旋转”。水平翻转和竖直翻转都让床垫变为反面在上,而旋转后床垫仍保持正面朝上。
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1701003658 为了更形象地展示这几种翻转床垫方法的区别,我们想象床垫是透明的,即使反面朝上后仍能看见写在床垫正面的数字。水平翻转后,4个数字变成了原来的镜像,数字的排列发生了变化,1和2换了位置,3和4换了位置。
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1701003663 而竖直翻转后,数字的排列则发生了另一种形式的变化:数字不仅变成了原来的镜像(1和2换了位置,3和4换了位置),而且1和2从上面换到了下面,3和4则从下面换到了上面。
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1701003668 最后来看一下旋转法。旋转后数字不会变成原来的镜像,它们只是头尾颠倒了而已。旋转后,1和4交换了位置,2和3交换了位置。
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1701003673 这些变化的细节并不重要,重要的是这几种转化方式之间的联系是怎样的。这4种转化方式之间的关系,反映出床垫这个物体的对称性质。
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1701003675 为了说清楚这个问题,我画了这样一张图。(这种图在内森·卡特的《视觉群论》里比比皆是。《视觉群论》这本书写得非常好,绝对是群论入门书籍中最棒的一本,甚至是我读过的所有高等数学入门类书籍中写得最好的一本。)
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1701003680 上图4个角上的方块表示床垫可能出现的4种状态。左上角是床垫翻转(或旋转)前的初始状态。箭头表示翻转(或旋转)的方式,这些箭头把床垫的4种状态连接起来。
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1701003682 比如说,从左下状态指向右上状态的箭头表示“旋转”R。这个箭头是双向的,因为如果把床垫旋转2次,床垫就会回到初始状态。
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1701003684 这并不奇怪吧,如果把床头转到床尾,然后又把新的床头转到新的床尾,就相当于什么也没做(床垫又回到初始状态)。这个性质可以用方程式表示为:
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1701003686 RR = I
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1701003688 上式中的RR表示把R这种转化做了两次;I表示初始状态(单位元素)。同样,如果连续水平翻转两次,或者连续竖直翻转两次,床垫都会回到初始状态,也就是:
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1701003690 HH = I
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1701003692 VV = I
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1701003694 除此之外,上面这张转化图还给我们提供了一些其他信息。比如,从图中可以看出,与其进行一次惊险的竖直翻转,不如先做一次水平翻转再加上一次旋转。两种方法的效果是完全一样的,也就是V=HR。为了验证这一结论,我们先从上图左上角的初始状态出发。向东走,沿着H的箭头,我们就到达右上状态,然后再沿着对角线往西南方向走,沿着R的箭头,最终到达左下状态。而直接从左上状态沿着V的箭头向下走也会走到完全相同的地方。所以,HR=V。
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1701003696 注意,在这张图中,各个步骤间的先后顺序并不重要。不管你是先水平翻转再竖直翻转,还是先竖直翻转再水平翻转,结果都是一样的,即HR=RH。在我们这个群中,任何两种转化方式的先后顺序都可以互相交换,转化的结果却保持不变,这是加法交换率的一种更广义的形式。算术中两数相加时,x+y=y+x,在这里是HR=RH。请注意,并不是所有的群都服从交换律,我们的床垫“群”只是一个特例。通常,服从交换律的群是性质比较简单和清楚的群。
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1701003698 现在,回到我们最初的问题:怎样翻转床垫才能使磨损最为均匀?这个问题的答案是,只要周期性地调整床垫的状态,让床垫处于上图中的4种状态的时间相等就可以了。比如,鉴于竖直翻转床垫的方式有一定的危险性,我们可以选择周期性地重复R和H这两种翻转方式:第一个周期后旋转床垫一次,第二个周期后水平翻转床垫一次,第三个周期后又旋转床垫一次,第四个周期后又水平翻转床垫一次……如此反复。有的床垫制造商发明了这样一个保养床垫的口诀:“春天转,秋天翻”,这其实说的就是上面的这种策略。
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