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=1－（1－1＋1－……）
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=1－S
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通过解S= 1－S这个方程，我们得到S=1/2。
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好了，现在关于这个数列的和到底是多少，我们已经有了3种不同的答案：0、1和1/2。这个数列的和究竟是多少，争论一直持续了150年左右。之后，一个崭新的技术出现了，一批“分析家”们一下子就打好了微积分和无限概念（包含极限、导数、积分、无限序列）的坚实基础。在这个基础上，微积分学科被系统地建立了起来，它的逻辑体系和欧几里得几何学一样严密。
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微积分学提出了两个重要的概念，一是“部分总和”，二是“收敛”。“部分总和”是一个动态的和：你可以把有限个项加总求和，然后在任意一项停止，就得到了到这一项为止的部分总和。比如说，对于上述无穷数列1－1＋1－1＋1－1＋……，我们可以求出前3项的和：1－1＋1 = 1，我们把这个部分总和记作S3。其中，字母S代表“总和”，下标3表示这是前3项的部分总和。
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对于这个无穷数列，我们可以求出到任意项为止的部分总和：
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S1=1
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S2=1－1=0
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S3=1－1＋1=1
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S4=1－1＋1－1=0
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不难看出，这个无穷数列的部分总和不断地在0和1之间振荡。不管我们加多少项，部分总和永远会在0和1之间摆动，它不会收敛到0，也不会收敛到1，更不会收敛到1/2。因为上述无穷数列1－1＋1－1＋1－1＋……的和不会向任何一个数收敛，所以今天的数学家会说，这个数列是发散的。
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换句话说，当我们不断地加上更多的项，这个数列的部分总和都不会趋向于任何极限值。因此，讨论这个无限数列的和是没有意义的。
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既然如此，如果我们小心地避开这样的领域，只考虑那些会收敛的无限数列的和，之前的悖论是不是就完全解决了呢？
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很遗憾，不是的，噩梦还在继续。但是，这样的噩梦带来的也并不都是负面信息，正是在与这些“恶魔”的战斗中，18世纪的数学家们发现了微积分学科里深埋的秘密，并把这些秘密暴露于阳光下。在这个过程中，我们获得了很多宝贵的经验，学到了很多无价的知识。这些经验不仅关乎数学本身，还关乎数学在音乐、医学成像等领域的应用。
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让我们来考虑这样一个级数，它的学名叫作“交错调和级数”，形式如下：
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与上文提到的那个无穷级数不同的是，现在我们不是前进一步又后退一步以至无穷了。这个级数的每一步都比前一步小一些：前进一步，后退半步，再前进1/3步，又后退1/4步，如此重复，以至无穷。注意，在交错调和级数中，奇数项的前面是正号，偶数项的前面是负号。交错调和级数的部分总和的计算如下：
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如果我们一直这样加下去，就会发现这个级数的部分总和朝着一个约等于0.69的数字收敛。事实上，我可以证明，这个级数是收敛的，它的极限值是2的自然对数ln2。ln2的值大约是0.693 147。
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所以，这怎么会是“噩梦”呢？这不是挺好的吗？从外表来看，交错调和级数收敛得完全正常，就像一个懂礼貌、有教养的绅士，是每个父母心目中的“理想女婿”的人选。
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然而，这种无害的外表，正是交错调和级数最危险的地方。在温文尔雅的外表下，隐藏的是一个骗子、一个变色龙、一个超级狡猾的精神病人，这个人可以扮成任何模样，只要用不同的方法对这个级数求和，你就可以得到任何你想要的结果。这个级数可以收敛为任何实数：可以是297.126，可以是－42p，可以是0，你想让它是什么，它就能变成什么。
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在交错调和级数的眼里，加法结合律根本一文不值。只要改变求和的顺序，就可以随意改变求和的结果，这种事情在有限项求和中是永远不可能发生的。因此，虽然交错调和级数是收敛的，但是它仍然具有一些无法想象的奇特性质。
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在此，我不打算详细证明这个结论（这个结论的学名叫作“黎曼重排定理”或者“黎曼级数定理”）。为了获得一个直观的印象，让我们来看一种特定的“重排”方法，这种重排方法比较简单，求和也相对容易。假设我们把交错调和级数中每两个负数项和一个正数项结合起来：
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