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然后，将每一个括号里的算式进行化简运算：第一项和第二项相减，第三项保持不变。经过这样的处理，这个级数就变成：
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现在，我们从每个括号中提出一个1/2来，这个级数就变为：
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看出什么端倪来了吗？括号中的算式不就是交错调和级数本身吗？重排之后，这个级数仍然含有与原来相同的项，但是结果却变成了原来的1/2。经过这样的重排，交错调和级数收敛为ln2=0.346……这是一种多么奇特的情况！但是，你可能没有想到的是，交错调和级数和我们的现实生活是息息相关的。在本书里，我们可以反复发现，哪怕是最深奥、最抽象的数学概念，也能被应用到现实世界中去。交错调和级数和科学技术领域里的许多问题都有联系：在信号处理领域，在声学、金融和医学领域，我们常常需要把各种各样的曲线、声音、信号或者图像表达为一些更为简单的曲线、声音、信号或图像的加总。如果加总的基本单位是正弦波，那么这种技巧就叫作“傅里叶分析”。当要分析的级数具有与交错调和级数（或者与交错调和级数类似的级数）类似的性质时，经过傅里叶分析得出的傅里叶级数的收敛性质可以说是非常奇特的。
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下面这个例子就是直接从交错调和级数变化而来的一个傅里叶级数：
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我想大家都想象不出来这个级数到底是什么样子的，那么，我就帮大家把这个级数前10项的和画出来。
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上图中的实线就是这个傅里叶级数的部分总和。可以看出，这个函数图像是在模拟另一个更加简单的曲线：一个锯齿形状的波（图中用虚线表示）。但是，问题恰恰出在这个锯齿的尖端上。每次到了锯齿的尖端，函数图像就会突然飙高，背离这个锯齿状的波形，形成一个手指般的奇怪形状。为了看得更清楚一些，让我们把锯齿的尖端x= p的部分放大一些。
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如果我们计算更多项的部分总和，情况会不会有所改善呢？很可惜，不会。下面的两张图分别是这个傅里叶级数前50项和前100项的部分总和，从中可以看到，手指形状并没有消失。虽然手指形状变得更细了，也更加靠近锯齿的尖端，但是手指形状的高度还是和之前差不多。
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问题的根源还是之前谈到的交错调和级数。交错调和级数的问题“传染”给了傅里叶级数，才形成了这些惹人讨厌的手指形状。
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这种现象叫作“吉布斯现象”。自19世纪中叶被发现以来，吉布斯现象不仅是一个有趣的抽象数学概念，它还对数码摄影和医学上的核磁共振成像问题有着现实的影响。在核磁共振图像的锋利边缘上，会出现一些我们不想看到的模糊、反光和其他不正常的图像。这些图像正是吉布斯现象造成的，它们可能会被误诊为病变的组织，也可能会妨碍我们看清楚一些重要的病理表现。
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幸运的是，一个多世纪以前，数学分析学家就已经查明了吉布斯现象的成因。这些数学上的进步，让我们能够在一定程度上克服吉布斯现象造成的不良影响，就算是在无法克服的情形下，我们至少也可以预测吉布斯现象的发生和影响。
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看来，“分析”这种治疗方法很好地解决了微积分的内在问题。也许，现在到了给分析疗法结账的时候了。
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 [:1701001385]
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X的奇幻之旅：在现实生活中发现数学思维之美 第30章 “显示满房却永远有空房”的希尔伯特酒店
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2010年2月，我收到了一封电子邮件。邮件的发件人名叫金·福布斯，在邮件中，福布斯女士告诉我说，她6岁的儿子本向她提出了一个数学问题。因为无法回答这个问题，她才写邮件向我求助。
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