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例如,要求39和79的乘积。
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由39和79两数开始,左列的数字是把39除以2,不计余数,得出的数字再除以2,直到商数是1为止。右列的数字则是把79乘以2,得出乘积再乘以2,直到所对应的左列数字是1为止。
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最后,由右列数字中挑出所对应的左列数字为奇数者,再把这些数字加起来。这个和就是所要的答案,具体如下列表达式:
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39×79=79+158+316+2528=3081
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用其他的数字试试这个方法,再用计算器核对答案是否正确。
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【问题】你能解释这个方法的原理吗?
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【分析】
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这个方法的原理是,把被乘数减半以及挑选出奇数的数字的过程,实际上就是把被乘数转换为二进位数字的过程。
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以39为例,每一次除以2所留下的余数由上而下分别是1、1、1、0、0、1。从而39可以写成:
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39=25+0×24+0×23+1×22+1×21+1
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=100111(二进位数)
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因此39的二进位表示法就是以相反的次序排列余数。
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39×79=(25×79)+(22×79)+(2×79)+(1×79)
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=2528+316+158+79=3081
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俄罗斯乘法原理是不是很精妙,然而这样一种乘法原理,对于计数而言,显得较复杂。来看看中国古代怎么进行快速计算的——韩信点兵,俗称中国剩余定理。
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我和数学有约:趣味数学及算法解析 1.8 韩信点兵
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我国汉代有位大将,名叫韩信。
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他每次集合部队,只要求部下先后按l~3、1~5、1~7报数,然后再报告一下各队每次报数的余数,他就知道到了多少人。
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他的这种巧妙算法,人们称为鬼谷算,也叫隔墙算,或称为韩信点兵,外国人还称它为“中国剩余定理”。
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【问题】中国剩余定理是如何计算的?
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【分析】
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到了明代,数学家程大位用诗歌概括了这一算法,他写道:“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆月正半,除百零五便得知”。
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这首诗的意思是:用3除所得的余数乘上70,加上用5除所得余数乘以21,再加上用7除所得的余数乘上15,结果大于105就减去105的倍数,这样就知道所求的数了。
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