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其中，为复变量，实部记作。使的点叫做的零点。负偶数的-2，-4，-6，…都是的零点，叫做平凡零点，平凡零点都是实零点。此外发现的所有零点都具有形式，叫做非平凡零点，非平凡零点都是复零点。
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简单地说，黎曼猜想就是想象当时，，即所有非平凡零点都位于这条直线上。这条直线叫做临界线。
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黎曼猜想之所以重要，原因在于它不是孤立的猜想，通过它可以将纯粹数学中的许多问题联系在一起。
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首先，黎曼ζ函数与狄里赫利L函数一道构成解析数论的核心。狄里赫利L函数是黎曼ς函数的推广，相应于狄里赫利L函数有广义黎曼猜想：L函数的所有非平凡零点都在临界直线上。
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解析数论在很大程度上是围绕黎曼ς函数和狄里赫利L函数的零点性质展开的，许多数论函数的母函数最终也都与黎曼ς函数和狄里赫利L函数有关。因此，黎曼ς函数和狄里赫利L函数处于数论的中心地位。
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如果黎曼猜想成立，则ς函数在除以外的地方就肯定没有零点，这样，在σ＝1上显然也没有零点。于是，法国数学家哈达马和比利时数学家德万普据此在1896年分别独立证明了素数定理：
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当时，
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一些学者通过研究黎曼猜想的等价命题、强命题、弱命题和关系命题等，发现比黎曼猜想强的猜想很难成立，比黎曼猜想弱的猜想不难成立，因此黎曼猜想本身显得尤为关键。
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然而黎曼猜想至今尚未得到有效证明，黎曼猜想可以将纯粹数学的一些核心问题紧密地联系在一起，使之构成一个美妙的系统。
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著名数学家谢尔宾斯基曾经说：我们数论知识的积累，不仅依靠已经证明了的理论，而且也依靠那些未知的猜想。也就是说，人们在研究这些猜想的过程中丰富了自己的知识，从而促进了数论和数学其他分支的发展。
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在此，希望广大读者可以继续深究黎曼猜想，给中国国际数学送来鲜花。
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004198]
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 4.4 霍奇猜想
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霍奇猜想是代数几何的一个重大的、悬而未决的问题。它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。霍奇猜想属于世界七大数学难题之一。
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【问题】那么，霍奇猜想（Hodge Conjecture）是什么呢？
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【分析】
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在非奇异复射影代数簇上，任一霍奇类是代数闭链类的有理线性组合。
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20世纪的数学家们发现了研究复杂对象形状的强有力的办法。
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基本想法是：我们可以把给定对象的形状，通过简单几何块（几何块维数不断增加）粘合在一起来形成。这种技巧变得非常有用，它可以用许多不同的方式来推广，它使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时，起着巨大的促进作用。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，程序中必须加上某些没有任何几何解释的部件。
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霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的（有理线性）组合。