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霍奇猜想在霍奇的著述的一个结果中出现，霍奇在1930～1940年间，通过包含额外的结构丰富了德拉姆的表述，这种结构出现于代数簇的情况（但不仅限于这种情况）。
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黎曼假设、庞加莱猜想、霍奇猜想、贝赫和斯维讷通-戴尔猜想、纳维叶―斯托克斯方程、杨―米尔理论、P问题对NP问题被称为21世纪七大数学难题。
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2000年5月，美国的克莱数学研究所为每道题悬赏百万美元求解。目前，这一难题仍没有被破解。
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004199]
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 4.5 庞加莱猜想
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庞加莱猜想是法国数学家庞加莱提出的一个猜想，是克菜数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题。其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。庞加莱猜想是一个拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。
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【问题】那么，庞加莱猜想是什么呢？
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【分析】
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1904年，法国数学家亨利·庞加莱提出了一个拓扑学的猜想：“任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。”
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简单地说，一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点。
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后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
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亨利·庞加莱（Henri Poincaré），法国数学家、天体力学家、数学物理学家和科学哲学家。1854年4月29日生于法国南锡，1912年7月17日卒于巴黎。他的成就不在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，只是其中的一个。
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一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在性的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”
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对于庞加莱猜想，如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象：
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我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子，如图4-8所示。
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图4-8 球形房子
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我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户，没有门，我们在这样的球形房子里。拿一个气球来，带到这个球形的房子里。随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）。这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以（对形状也有一定要求）。但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。还要假设，这个气球的皮是无限薄的（只是过程中气球没有破）。
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接着我们继续吹大这个气球，一直吹。吹到最后会怎么样呢？庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙，这点我们都是可以接受的，这也就是庞加莱猜想的基本诠释。
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我们还可以换一种方法想想：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。
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看起来这是不是很容易想清楚？但数学可不是“随便想想”就能证明一个猜想的，这需要严密的数学推理和逻辑推理。一个多世纪以来，无数的科学家为了证明它，绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终。
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提出这个猜想后，庞加莱一度认为自己已经证明了它。但没过多久，证明中的错误就被暴露了出来。于是，拓扑学家们开始了证明它的努力。
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20世纪30年代以前，庞加莱猜想的研究只有零星几项。
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