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一些学者通过研究黎曼猜想的等价命题、强命题、弱命题和关系命题等，发现比黎曼猜想强的猜想很难成立，比黎曼猜想弱的猜想不难成立，因此黎曼猜想本身显得尤为关键。
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然而黎曼猜想至今尚未得到有效证明，黎曼猜想可以将纯粹数学的一些核心问题紧密地联系在一起，使之构成一个美妙的系统。
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著名数学家谢尔宾斯基曾经说：我们数论知识的积累，不仅依靠已经证明了的理论，而且也依靠那些未知的猜想。也就是说，人们在研究这些猜想的过程中丰富了自己的知识，从而促进了数论和数学其他分支的发展。
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在此，希望广大读者可以继续深究黎曼猜想，给中国国际数学送来鲜花。
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004198]
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 4.4 霍奇猜想
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霍奇猜想是代数几何的一个重大的、悬而未决的问题。它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。霍奇猜想属于世界七大数学难题之一。
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【问题】那么，霍奇猜想（Hodge Conjecture）是什么呢？
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【分析】
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在非奇异复射影代数簇上，任一霍奇类是代数闭链类的有理线性组合。
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20世纪的数学家们发现了研究复杂对象形状的强有力的办法。
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基本想法是：我们可以把给定对象的形状，通过简单几何块（几何块维数不断增加）粘合在一起来形成。这种技巧变得非常有用，它可以用许多不同的方式来推广，它使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时，起着巨大的促进作用。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，程序中必须加上某些没有任何几何解释的部件。
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霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的（有理线性）组合。
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霍奇猜想在霍奇的著述的一个结果中出现，霍奇在1930～1940年间，通过包含额外的结构丰富了德拉姆的表述，这种结构出现于代数簇的情况（但不仅限于这种情况）。
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黎曼假设、庞加莱猜想、霍奇猜想、贝赫和斯维讷通-戴尔猜想、纳维叶―斯托克斯方程、杨―米尔理论、P问题对NP问题被称为21世纪七大数学难题。
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2000年5月，美国的克莱数学研究所为每道题悬赏百万美元求解。目前，这一难题仍没有被破解。
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004199]
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 4.5 庞加莱猜想
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庞加莱猜想是法国数学家庞加莱提出的一个猜想，是克菜数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题。其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。庞加莱猜想是一个拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。
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【问题】那么，庞加莱猜想是什么呢？
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【分析】
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1904年，法国数学家亨利·庞加莱提出了一个拓扑学的猜想：“任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。”