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简单地说，一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点。
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后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
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亨利·庞加莱（Henri Poincaré），法国数学家、天体力学家、数学物理学家和科学哲学家。1854年4月29日生于法国南锡，1912年7月17日卒于巴黎。他的成就不在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，只是其中的一个。
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一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在性的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”
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对于庞加莱猜想，如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象：
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我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子，如图4-8所示。
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图4-8 球形房子
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我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户，没有门，我们在这样的球形房子里。拿一个气球来，带到这个球形的房子里。随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）。这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以（对形状也有一定要求）。但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。还要假设，这个气球的皮是无限薄的（只是过程中气球没有破）。
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接着我们继续吹大这个气球，一直吹。吹到最后会怎么样呢？庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙，这点我们都是可以接受的，这也就是庞加莱猜想的基本诠释。
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我们还可以换一种方法想想：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。
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看起来这是不是很容易想清楚？但数学可不是“随便想想”就能证明一个猜想的，这需要严密的数学推理和逻辑推理。一个多世纪以来，无数的科学家为了证明它，绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终。
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提出这个猜想后，庞加莱一度认为自己已经证明了它。但没过多久，证明中的错误就被暴露了出来。于是，拓扑学家们开始了证明它的努力。
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20世纪30年代以前，庞加莱猜想的研究只有零星几项。
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英国数学家怀特海（Whitehead）对这个问题产生了浓厚兴趣。他一度声称自己完成了证明，但不久就撤回了论文。不过失之桑榆、收之东隅，在这个过程中，他发现了三维流形的一些有趣的特例，这些特例被称为怀特海流形。
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30年代到60年代之间，又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想，著名的宾（R.Bing）、哈肯（Haken）、莫伊泽（Moise）和帕帕奇拉克普罗斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中。
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帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主，一名希腊数学家。大家都称呼他“帕帕”（Papa）。在1948年以前，帕帕一直与数学圈保持一定的距离，直到被普林斯顿大学邀请做客。帕帕以证明了著名的“迪恩引理”（Dehn’s Lemma）而闻名于世，喜好舞文弄墨的数学家约翰·米尔诺（John Milnor）曾经为此写下一段打油诗：“无情无义的迪恩引理，每一个拓扑学家的天敌，直到帕帕奇拉克普罗斯，居然证明得毫不费力。”
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然而，这位聪明的希腊拓扑学家，却最终倒在了庞加莱猜想的证明上。
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在普林斯顿大学流传着一个故事：直到1976年去世前，帕帕仍在试图证明庞加莱猜想，临终之时，他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友，然而，那位数学家朋友只是翻了几页就发现了错误，但为了让帕帕安静地离去，最后选择了隐忍不言。
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庞加莱猜想依然是个科学迷、举世闻名的迷，千禧年大奖难题等你去开辟捷径，你还在等什么呢？成功会属于你。
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004200]
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 4.6 杨-米尔斯存在性和质量缺口
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【问题】杨-米尔斯存在性和质量缺口是什么呢？
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