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1701006037 简单地说,一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间;单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点。
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1701006039 后来,这个猜想被推广至三维以上空间,被称为“高维庞加莱猜想”。
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1701006041 亨利·庞加莱(Henri Poincaré),法国数学家、天体力学家、数学物理学家和科学哲学家。1854年4月29日生于法国南锡,1912年7月17日卒于巴黎。他的成就不在于他解决了多少问题,而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想,只是其中的一个。
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1701006043 一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱(Henri Poincare):“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在性的,每次看到亨利,我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”
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1701006045 对于庞加莱猜想,如果你认为这个说法太抽象的话,我们不妨做这样一个想象:
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1701006047 我们想象这样一个房子,这个空间是一个球。或者,想象一只巨大的足球,里面充满了气,我们钻到里面看,这就是一个球形的房子,如图4-8所示。
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1701006052 图4-8 球形房子
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1701006054 我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的,非常结实,没有窗户,没有门,我们在这样的球形房子里。拿一个气球来,带到这个球形的房子里。随便什么气球都可以(其实对这个气球是有要求的)。这个气球并不是瘪的,而是已经吹成某一个形状,什么形状都可以(对形状也有一定要求)。但是这个气球,我们还可以继续吹大它,而且假设气球的皮特别结实,肯定不会被吹破。还要假设,这个气球的皮是无限薄的(只是过程中气球没有破)。
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1701006056 接着我们继续吹大这个气球,一直吹。吹到最后会怎么样呢?庞加莱先生猜想,吹到最后,一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住,中间没有缝隙,这点我们都是可以接受的,这也就是庞加莱猜想的基本诠释。
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1701006058 我们还可以换一种方法想想:如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的。我们说,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是。
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1701006060 看起来这是不是很容易想清楚?但数学可不是“随便想想”就能证明一个猜想的,这需要严密的数学推理和逻辑推理。一个多世纪以来,无数的科学家为了证明它,绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终。
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1701006062 提出这个猜想后,庞加莱一度认为自己已经证明了它。但没过多久,证明中的错误就被暴露了出来。于是,拓扑学家们开始了证明它的努力。
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1701006064 20世纪30年代以前,庞加莱猜想的研究只有零星几项。
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1701006066 英国数学家怀特海(Whitehead)对这个问题产生了浓厚兴趣。他一度声称自己完成了证明,但不久就撤回了论文。不过失之桑榆、收之东隅,在这个过程中,他发现了三维流形的一些有趣的特例,这些特例被称为怀特海流形。
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1701006068 30年代到60年代之间,又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想,著名的宾(R.Bing)、哈肯(Haken)、莫伊泽(Moise)和帕帕奇拉克普罗斯(Papa-kyriakopoulos)均在其中。
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1701006070 帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主,一名希腊数学家。大家都称呼他“帕帕”(Papa)。在1948年以前,帕帕一直与数学圈保持一定的距离,直到被普林斯顿大学邀请做客。帕帕以证明了著名的“迪恩引理”(Dehn’s Lemma)而闻名于世,喜好舞文弄墨的数学家约翰·米尔诺(John Milnor)曾经为此写下一段打油诗:“无情无义的迪恩引理,每一个拓扑学家的天敌,直到帕帕奇拉克普罗斯,居然证明得毫不费力。”
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1701006072 然而,这位聪明的希腊拓扑学家,却最终倒在了庞加莱猜想的证明上。
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1701006074 在普林斯顿大学流传着一个故事:直到1976年去世前,帕帕仍在试图证明庞加莱猜想,临终之时,他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友,然而,那位数学家朋友只是翻了几页就发现了错误,但为了让帕帕安静地离去,最后选择了隐忍不言。
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1701006076 庞加莱猜想依然是个科学迷、举世闻名的迷,千禧年大奖难题等你去开辟捷径,你还在等什么呢?成功会属于你。
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1701006081 我和数学有约:趣味数学及算法解析 [:1701004200]
1701006082 我和数学有约:趣味数学及算法解析 4.6 杨-米尔斯存在性和质量缺口
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1701006084 【问题】杨-米尔斯存在性和质量缺口是什么呢?
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