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在直角坐标系中，纳维叶-斯托克斯方程可表达如下矢量形式：
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式中ρ为流体密度，p为压强，为速度矢量，为作用于单位质量流体的彻体力，为哈密顿算子，△为拉普拉斯算子。后人在此基础上又导出适用于可压缩流体的N-S方程。
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N-S方程反映了粘性流体（又称真实流体）流动的基本力学规律，在流体力学中有十分重要的意义。它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复杂，目前只有在某些十分简单的流动问题上能求得精确解；但在有些情况下，可以简化方程而得到近似解。
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例如，当雷诺数Re＝1时，绕流物体边界层外，粘性力远小于惯性力，方程中粘性项可以忽略，N-S方程简化为理想流动中的欧拉方程（）；而在边界层内，N-S方程又可简化为边界层方程。在计算有关空气压膜阻尼的时候，将各个方向上的纳维叶-斯托克斯方程通过一系列的近似和化简可以得到线性和非线性的雷诺方程等。
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在计算机问世和迅速发展以后，N-S方程的数值求解才有了很大的发展。
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【问题】纳维叶-斯托克斯方程的存在性与光滑性是什么呢？
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【分析】
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起伏的波浪跟随着在湖中穿梭的小船，湍急的气流跟随着现代喷气式飞机飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过解纳维叶-斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。
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数学探索无止境，我们现在对纳维叶-斯托克斯方程中的奥秘知道的还太少，数学的每一个证明都是一瞬间的灵感，希望各位读者用于攀登、勇于探索，对数学理论作出实质性的进展。
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004202]
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 4.8 贝赫和斯维讷通-戴尔猜想
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【问题】贝赫和斯维讷通-戴尔猜想是什么呢？
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【分析】
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贝赫和斯维讷通-戴尔猜想（Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture）称为“千僖难题”之七，指的是对有理数域上的任一椭圆曲线，其L函数在1的化零阶等于此曲线上有理点构成的Abel群的秩。
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数学家总是对诸如这样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。
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欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇（Yu．V．Matiyasevich）指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即不存在一般的方程来确定这样的方法是否有一个整数解。
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当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通-戴尔猜想认为，有理点的群的大小与蔡塔函数z（s）在点s＝1附近性态相关。
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特别是，贝赫和斯维讷通特戴尔猜想认为，如果z（1）等于0，那么存在无限多个有理点（方程的解），相反，如果z（1）不等于0，那么只存在有限多个这样的点。
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