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如果偶数的哥德巴赫猜想正确，那么奇数的猜想也正确。我们可以把这个问题反过来思考。已知奇数N可以表示成三个素数之和，假如又能证明这三个素数中有一个非常小，譬如说第一个素数可以总取3，那么我们也就证明了偶数的哥德巴赫猜想。在1959年，这个思想就促使潘承洞先生研究了一个小素变数的三素数定理。这个小素变数不超过N的θ次方。我们的目标是要证明θ可以取0，即这个小素变数有界，从而推出偶数的哥德巴赫猜想。潘承洞先生首先证明θ可取1/4。后来的很长一段时间内，这方面的工作一直没有进展，直到1995年展涛教授把潘老师的定理推进到7/120。这个数已经比较小了，但是仍然大于0。
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（4）几乎哥德巴赫问题
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1953年，林尼克发表了一篇长达70页的论文。在论文中，他率先研究了几乎哥德巴赫问题，证明了存在一个固定的非负整数k，使得任何大偶数都能写成两个素数与k个2的方幂之和。这个定理，看起来好像丑化了哥德巴赫猜想，实际上它是非常深刻的。
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我们注意，能写成k个2的方幂之和的整数构成一个非常稀疏的集合；事实上，对任意取定的x，x前面这种整数的个数不会超过logx的k次方。因此，林尼克定理指出，虽然我们还不能证明哥德巴赫猜想，但是我们能在整数集合中找到一个非常稀疏的子集，每次从这个稀疏子集里面拿一个元素贴到这两个素数的表达式中去，这个表达式就成立。这里的k用来衡量“几乎哥德巴赫问题”向“哥德巴赫猜想”逼近的程度，数值较小的k表示更好的逼近度。显然，如果k等于0，几乎哥德巴赫问题中2的方幂就不再出现，从而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。
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林尼克在1953年的论文中并没有具体定出k的可容许数值，此后四十多年间，人们还是不知道一个多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的论证，这个k应该很大。目前最好的结果k＝13是英国数学家希思是布朗（D．R．Heath-Brown）和德国数学家普赫塔（Puchta）合作取得的，这是一个很大的突破。
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数学史上的每一步都走的很艰辛，但是对于整个数学史，乃至整个人类来说，都是一个突破、一个提高。
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004204]
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 4.10 几何尺规作图问题
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图4-10 圆规画图
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几何尺规作图问题，看起来好像是很简单的，并没有那么麻烦，因为我们从小学就开始尺规作图了，拿一把直尺和一个圆规，基本能够实现所学习和认知范围内的图形，具体的尺规作图如图4-10所示。
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【问题】那么，什么是“几何尺规作图问题”呢?
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【分析】
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“几何尺规作图问题”是指只能用直尺和圆规作图，而这里的直尺是指没有刻度只能画直线的尺子。
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“几何尺规作图问题”作为一个千禧难题，为什么这么难呢？有什么特殊的要求吗？在大数学家眼中，具体的“几何尺规作图问题”如下。
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“几何尺规作图问题”包括以下四个问题。
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（1）化圆为方——求作一正方形使其面积等于一已知圆的面积
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具体的正方形和圆形如图4-11所示。
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图4-11 圆与正方形
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这个问题看起来很简单，但是仔细去研究就会发现，正方形的面积等于一个已知圆的面积，而我们的圆的面积表达式为，其中r为圆的半径，，π为一个无理数，因此很难找到一个数使得，其中a为正方形的边长。已经有人证明，此命题“采用尺规作图，求作一正方形使其面积等于一已知圆的面积”是不成立的。
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（2）三等分任意角