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我和数学有约：趣味数学及算法解析 [:1701004212]
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我和数学有约：趣味数学及算法解析 5.3 完美的螺旋线
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螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”。例如，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线。在2000多年以前，古希腊数学家阿基米德就对螺旋线进行了研究。著名数学家笛卡尔于1683年首先描述了对数螺旋线，并且列出了螺旋线的解析式。更有趣的是瑞士数学家雅谷·伯努利，在逝世前请人在他的墓碑上刻了一条蜗牛屋形——对数螺旋线，并幽默地写上“我将按着原来的样子变化后复活”的墓志铭。
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大家如果有兴趣的话，可以去观察一下蜘蛛网，因为蜘蛛网是自然界中分布很广，而且给人印象深刻的一种螺旋结构。蜘蛛网的结构充分地说明了蜘蛛是一个多么了不起的、有着奇妙螺旋概念的生物。车前草的叶片也是螺旋状排列，其间夹角为137度、30度和38度。这样的叶序排列，可以使叶片获得最大的采光量，且得到良好的通风。其实，植物叶子在茎上的排列，一般都是螺旋状。此外，向日葵籽在盘上的排列也是螺旋式的。
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关于螺旋线的应用有很多，以下将介绍几种螺旋线的结构。
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（1）最简单中线轴对称图形——螺旋弹簧结构，编写程序如下：
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clc,clear,close all %清屏和清除变量 warning off %消除警告 z=0:0.05:8*pi; x=sin(z); y=cos(z); figure(1),plot3(x,y,z) %画图
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运行程序输出图形如图5-12所示。
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图5-12 圆弹簧螺旋线
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该螺旋弹簧结构广泛应用于我们的生活，弹簧结构因其扭曲结构具有极好的刚度。
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（2）有一些特殊的运动所产生的轨迹也是螺旋线。一只蚂蚁以不变的速率，在一个均匀旋转的唱片中心沿半径向外爬行，结果蚂蚁本身就描绘出一条螺旋线。如图5-12所示为空间螺旋线绘制，当将三维图形展开为平面图形，将得到平面螺旋线，平面螺旋线的方程满足如下：
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平面双螺旋线绘制，编程如下：
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clc,clear,close all %清屏和清除变量 warning off %消除警告 %产生双螺旋数据 i=(1:1:100)’; %双螺旋数据点的产生方程 alpha1=pi*(i-1)/25; beta=0.4*((105-i)/104); x0=0.5+beta.*sin(alpha1); %螺旋1 y0=0.5+beta.*cos(alpha1); x1=0.5-beta.*sin(alpha1); %螺旋2 y1=0.5-beta.*cos(alpha1); plot(x0,y0,‘r*’); %画图 hold on; %图像保持句柄 plot(x1,y1,‘go’); %继续画图
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运行程序输出图形如图5-13所示。
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图5-13 平面螺旋线
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对于平面螺旋线并不是单独存在于我们构造的函数中，现实中，一些海螺外壳鲜明的轮廓构成我们的平面螺旋线的结构，具体如图5-14所示。
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图5-14 海螺实物
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（3）蝙蝠从高处往下飞，是按空间螺旋线——锥形螺旋线的路径飞行的。在大海上追逐逃跑的敌舰或缉捕走私船只，有时也要按着螺旋线路径追逐。星体的运行轨迹有的也是螺旋线。
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对于锥形螺旋线，方程如下：
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