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我们熟知的足球如图5-50所示。
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图5-50 足球
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【问题】
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足球上美丽的构图是如何形成的？
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在足球上一共有几个正五边形？有几个正六边形？它们是如何放置的？每个正五边形和正六边形的边长是多少？顶角各是多少度？面积是多少？
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足球有多少种自身的转动使得足球上的图案和它初始位置的图案重合？
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如何正确地画出足球的图案？
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在足球上如何放置测地正五边形和测地正六边形？在每个测地正五边形周围放置五个测地正六边形。在每个测地正六边形周围交替地放置测地正五边形和测地正六边形。这样的安置应该与正多面体有关。关系是怎样的？
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【分析】
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要彻底解决上述问题，需要首先了解下面的知识点，方能游刃有余的解决该类问题。
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（1）正多面体的种类
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正多面体的Euler公式：
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面数-棱数＋顶点数＝2
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正四面体：三边形，4，6，4，绕顶点面数3；
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正六面体：四边形，6，12，8，绕顶点面数3；
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正八面体：三边形，8，12，6，绕顶点面数4；
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正十二面体：五边形，12，30，20，绕顶点面3；
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正二十面体：三边形，20，30，12，绕顶点面5。
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（2）足球图案的构成
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以正二十面体的中心为球心作球面包围该多面体。
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从球心出发将正二十面体的表面投影到球面上得到球正二十面体，每个面是测地三边形。围绕每个顶点有五个测地三边形。
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从每个顶点出发截取一定长度，使测地三边形截去三个角之后成为测地正六边形。
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（3）正二十面体的十二个顶点
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十二个顶点落在6条直线上，设其中一条直线的方向向量是v1＝（0，0，1）。其余五个方向围绕v1均匀分布，并且和v1成角θ，设为：