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正多面体的Euler公式：
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面数-棱数＋顶点数＝2
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正四面体：三边形，4，6，4，绕顶点面数3；
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正六面体：四边形，6，12，8，绕顶点面数3；
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正八面体：三边形，8，12，6，绕顶点面数4；
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正十二面体：五边形，12，30，20，绕顶点面3；
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正二十面体：三边形，20，30，12，绕顶点面5。
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（2）足球图案的构成
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以正二十面体的中心为球心作球面包围该多面体。
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从球心出发将正二十面体的表面投影到球面上得到球正二十面体，每个面是测地三边形。围绕每个顶点有五个测地三边形。
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从每个顶点出发截取一定长度，使测地三边形截去三个角之后成为测地正六边形。
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（3）正二十面体的十二个顶点
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十二个顶点落在6条直线上，设其中一条直线的方向向量是v1＝（0，0，1）。其余五个方向围绕v1均匀分布，并且和v1成角θ，设为：
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v2=(sinθ,0,cosθ) v3=(sinθcos2π/5, sinθsin2π/5, cosθ) v4=(sinθcos4π/5, sinθsin4π/5, cosθ) v5=(sinθcos6π/5, sinθsin6π/5, cosθ) v6=(sinθcos8π/5, sinθsin8π/5, cosθ)
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其中，（弧度）。
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这正是球正二十面体的棱长。
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（4）球面三角公式
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设球面三角形的边长为α、β、γ，对应的顶角是A、B、C，则有如下内容。
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余弦公式：
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正弦公式：
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（5）足球上测地正多边形的边长
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