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正多面体的Euler公式:
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面数-棱数+顶点数=2
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正四面体:三边形,4,6,4,绕顶点面数3;
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正六面体:四边形,6,12,8,绕顶点面数3;
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正八面体:三边形,8,12,6,绕顶点面数4;
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正十二面体:五边形,12,30,20,绕顶点面3;
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正二十面体:三边形,20,30,12,绕顶点面5。
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(2)足球图案的构成
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以正二十面体的中心为球心作球面包围该多面体。
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从球心出发将正二十面体的表面投影到球面上得到球正二十面体,每个面是测地三边形。围绕每个顶点有五个测地三边形。
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从每个顶点出发截取一定长度,使测地三边形截去三个角之后成为测地正六边形。
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(3)正二十面体的十二个顶点
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十二个顶点落在6条直线上,设其中一条直线的方向向量是v1=(0,0,1)。其余五个方向围绕v1均匀分布,并且和v1成角θ,设为:
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v2=(sinθ,0,cosθ) v3=(sinθcos2π/5, sinθsin2π/5, cosθ) v4=(sinθcos4π/5, sinθsin4π/5, cosθ) v5=(sinθcos6π/5, sinθsin6π/5, cosθ) v6=(sinθcos8π/5, sinθsin8π/5, cosθ)
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其中,(弧度)。
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这正是球正二十面体的棱长。
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(4)球面三角公式
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设球面三角形的边长为α、β、γ,对应的顶角是A、B、C,则有如下内容。
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余弦公式:
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正弦公式:
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(5)足球上测地正多边形的边长
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